2020届高考数学一轮复习 单元检测五 平面向量与复数（提升卷）单元检测 理（含解析） 新人教A版

单元检测五平面向量与复数(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于()A．1B．2C.5D．5答案D解析因为z＝3＋4ii＝－(3＋4i)i＝4－3i，所以|z|＝42＋－32＝5.2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则z1z2等于()A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案B解析∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，∴z1z2＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m＝(－1,2)，n＝(2，b)，若m∥n，则|m＋n|等于()A.5B.10C.2D．35答案A解析由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，故n＝(2，－4)，所以m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝5，故选A.4.如图所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点A，B，C在一条直线上，且AC→＝－4CB→，则()A．c＝12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝－13a＋43b答案D解析c＝OB→＋BC→＝OB→＋13AB→＝OB→＋13(OB→－OA→)＝43OB→－13OA→＝43b－13a.故选D.5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，则向量a－3b与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析因为a⊥b，所以x－3＝0，解得x＝3，所以a＝(3，1)，a－3b＝(0,4)，则cos〈a－3b，b〉＝a－3b·b|a－3b|·|b|＝－434×2＝－32，所以向量a－3b与b的夹角为5π6，故选D.6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2019OC→，且A，B，C三点共线(O为该直线外一点)，则S2019等于()A．2019B．2020C.20192D．1010答案C解析A，B，C三点共线，且OB→＝a1OA→＋a2019OC→，则a1＋a2019＝1，所以S2019＝20192(a1＋a2019)＝20192，故选C.7．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·b＝|a||b|，得cos〈a，b〉＝1，所以a∥b；反之，a∥b不能推得cos〈a，b〉＝1，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件，故选B.8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，DC→＝2BD→，则AD→·BC→的值为()A．2B．－2C．3D．－3答案B解析AD→·BC→＝(AC→＋CD→)·BC→＝AC→＋23CB→·BC→＝AC→＋23AB→－AC→·BC→＝23AB→＋13AC→·(AC→－AB→)＝－23|AB→|2＋13AB→·AC→＋13|AC→|2＝－6＋1＋3＝－2，故选B.9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则sin2θ＋π4等于()A.7210B.210C．－210D．－7210答案D解析f(x)＝a·b＝2sinx－cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝15，cosφ＝25，θ－φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得θ＝2kπ＋π2＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝25，cosθ＝－sinφ＝－15，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－45，cos2θ＝1－2sin2θ＝－35，所以sin2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BE→·CE→＝2，BF→·CF→＝－1，则BA→·CA→等于()A．5B．6C．7D．8答案C解析BE→·CE→＝ED→2－BD→2＝4FD→2－BD→2＝2，BF→·CF→＝FD→2－BD→2＝－1，所以FD→2＝1，BD→2＝2，因此BA→·CA→＝AD→2－BD→2＝9FD→2－BD→2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．6B．－8或8C．－8D．8答案D解析cosθ＝a·b|a||b|＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sinθ＝45，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC中，CM→＝2MB→，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若AP→＝mAB→，AQ→＝nAC→，则mn＋m的最小值为()A．63B．23C．6D．2答案D解析由已知易得，AM→＝23AB→＋13AC→，∴AM→＝23mAP→＋13nAQ→.又M，P，Q三点共线，∴23m＋13n＝1，∴m＝2n3n－1，易知3n－10.mn＋m＝m(n＋1)＝2n3n－1·(n＋1)＝293n－1＋43n－1＋5≥2，当且仅当m＝n＝1时取等号．∴mn＋m的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．答案－1解析因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)．又因为该点在y轴负半轴上，所以有a2－1＝0，2a0，解得a＝－1.14．(2018·石家庄检测)已知若对任意一个单位向量e，满足(a＋b)·e≤2成立，则a·b的最大值是________．答案1解析(a＋b)·e＝|a＋b|·|e|cos〈a＋b，e〉≤|a＋b|≤2，当且仅当a＋b，e同向共线时取等号，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2≤4，a·b＝x1x2＋y1y2≤x1＋x224＋y1＋y224≤14×4＝1，当且仅当x1＝x2，y1＝y2时取等号，故a·b的最大值是1.15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝πi32e，z2＝πi2e，则复数z＝z1z2在复平面内对应的点在第________象限．答案四解析因为z1＝πi32e＝2cosπ3＋isinπ3＝1＋3i，z2＝πi2e＝cosπ2＋isinπ2＝i，所以z＝z1z2＝1＋3ii＝1＋3i－ii－i＝3－i.复数z在复平面内对应的点为Z(3，－1)，点Z在第四象限．16．已知点O为△ABC内一点，且满足OA→＋OB→＋4OC→＝0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1，S2，则S1S2＝______.答案16解析设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足OA→＋OB→＋4OC→＝0，所以OA→＋OB→＋OD→＝0，则点O是△ABD的重心，则E，O，C，D共线，OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝13S△BCE＝16S△ABC，所以S1S2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)在平面内一点D满足OD→＝AB→－tOC→，若△ACD为直角三角形，且A为直角，试求实数t的值．解(1)由题意得AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，故AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)，所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42，故所求对角线的长分别为210，42.(2)由题设知OD→＝AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)，故D(3＋2t,5＋t)，则AD→＝(2t＋4，t＋7)．由△ACD为直角三角形，且A＝π2，得AD→·AC→＝0，即(2t＋4，t＋7)·(－1,1)＝0，解得t＝3.所以满足题意的实数t的值为3.18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2,1)，O为坐标原点．(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；(2)设OA→＝a，OB→＝b，求△OAB的面积．解(1)∵a＝(3，－2)，b＝(2,1)，∴ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，令(ma＋b)·(a－2b)0，即－3m－2＋8m－40，解得m65，∵当m＝－12时，ma＋b＝－12a＋b，a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m≠－12，∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为－∞，－12∪－12，65.(2)设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，则S＝12|a|·|b|sinθ，∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－a·b|a|·|b|2，∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ＝|a|2|b|2－(a·b)2＝65－16＝49.∴S＝72.19．(13分)如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA→，OB→表示OP→；(2)若|OA→|＝4，|OB→|＝3，且∠AOB＝60°，求OP→·AB→取值范围．解(1)∵AP→＝12PB→，∴OP→－OA→＝12(OB→－OP→)，∴32OP→＝OA→＋12OB→，即OP→＝23OA→＋13OB→.(2)∵OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos60°＝6，AP→＝λPB→(λ0)，∴OP→－OA→＝λ(OB→－OP→)，(1＋λ)OP→＝OA→＋λOB→，∴OP→＝11＋λOA→＋λ1＋λOB→.∵AB→＝OB→－OA→，∴OP→·AB→＝11＋λOA→＋λ1＋λOB→·(OB→－OA→)＝－11＋λOA→2＋λ1＋λOB→2＋11＋λ－λ1＋λOA→·OB→＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB→的取值范围是(－10,3)．20．(13分)已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4，记f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．解(1)f(x)＝m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.由f(x)＝1，得sinx2＋π6＝12，所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12.(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sin(B＋C)．因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，所以co