2020届高考数学一轮复习 单元检测九（A）直线与圆（提升卷）单元检测 理（含解析） 新人教A版

单元检测九(A)直线与圆(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1答案D解析①当a＝0时，y＝2不合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.2．已知直线l的倾斜角为π4，直线l1经过点A(3,2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2答案B解析由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以2－13＋a＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－2b＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2.故选B.3．坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是()A.－45，85B.－45，－85C.45，－85D.45，85答案A解析直线x－2y＋2＝0的斜率k＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得x02－2×y02＋2＝0，y0＝－2x0，解得x0＝－45，y0＝85，即所求点的坐标是－45，85.故选A.4．过点A(2019，a)和B(2020，b)的直线与直线l：x＋y＋m＝0垂直，则|AB|的值为()A．4B．2C.2D．与m的取值有关答案C解析由题意得kAB＝b－a2020－2019＝1，所以b－a＝1，所以|AB|＝2020－20192＋b－a2＝2.故选C.5．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是()A.0，14B.0，18C.－∞，14D.－∞，18答案D解析∵把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，∴－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2b－142＋18≤18，当b＝14时，ab取得最大值18.6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A.79B．－13C．－79或－13D．－79或13答案C解析由已知可得|－3a－4＋1|a2＋1＝|6a＋3＋1|a2＋1，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得a＝－79或a＝－13.7．已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1,3，－3}B．{5，－5,3，－3}C．{1，－1}D．{3，－3}答案A解析由题意得两圆心之间的距离d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1,3，－3.故选A.8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线l：y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()A．－43B．－54C．－25D．－53答案A解析由圆C的方程知其圆心为(4,0)，半径为1，圆心到直线l的距离d＝|4k＋2|k2＋1，由题意知，当距离d≤2时，满足条件，∴|4k＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k≤0，∴直线l的斜率k的最小值为－43.9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17答案A解析圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径，即3－22＋4＋32－1－3＝52－4.10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋a＝0，圆C与直线x＋2y－4＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为()A．－45B.12C.85D.15答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝54x1x2－(x1＋x2)＋4＝0.(*)联立直线和圆的方程，消去y得5x2－8x＋4a－16＝0，x1＋x2＝85，x1x2＝4a－165，代入(*)式得a＝85.11．已知直线x＋y－k＝0(k0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且|OA→＋OB→|≥33|AB→|，则实数k的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，22)D．[3，22)答案C解析设AB的中点为D，则OD⊥AB.因为|OA→＋OB→|≥33|AB→|，所以|2OD→|≥33|AB→|，所以|AB→|≤23|OD→|.因为|OD→|2＋14|AB→|2＝4，所以|OD→|2≥1.因为直线x＋y－k＝0(k0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以|OD→|24，所以1≤|OD→|24，即1≤|－k|224，解得2≤k22，故选C.12．对于函数y＝f(x)，y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝－g(－x0)，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)的一对“雷点”．已知f(x)＝－x2－4x－3，g(x)＝kx＋1，若函数f(x)与g(x)恰有一对“雷点”，则实数k的取值范围为()A.－1，－13B.－1，－13C.－43∪－1，－13D.－43∪－1，－13答案C解析令y＝－x2－4x－3，整理得(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，它表示圆心为(－2,0)，半径为1的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示．由g(x)＝kx＋1知，g(x)的图象为过定点P(0,1)的直线l，易求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率k＝－43，直线PA，PB的斜率分别为－1，－13，故实数k的取值范围为－43∪－1，－13.故选C.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为________．答案2解析由两直线垂直可得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，即a2＋b2＝4，∴ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b时，(ab)max＝2.14．当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m的值为________．答案－1解析直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2,1)，所以当PQ与直线垂直时，点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大，即m·2－13－2＝－1，所以m＝－1.15．已知点Q(－1，m)，P是圆C：(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1，则实数m的值为________．答案4解析设P(x，y)，线段PQ的中点为M(x0，y0)，则x0＝x－12，y0＝y＋m2.因为点M(x0，y0)在圆x2＋(y－1)2＝1上，所以x－122＋y＋m2－12＝1，即(x－1)2＋(y＋m－2)2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4比较，可得a＝1，2a－4＝－m－2，解得m＝4.16．已知在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2＋y2＝9，圆O2：x2＋(y－6)2＝16，若在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，O2截得的弦分别为AB，CD，且|AB||CD|＝34，则定点M的坐标为________．答案0，187解析因为|AB||CD|＝34总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是68＝34，所以点M在两圆圆心的连线上．因为圆心连线的方程为x＝0，所以可设M(0，y0)，当直线l的斜率不存在时，显然满足题意，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋y0，因为|AB||CD|＝34，所以9－|y0|1＋k2216－|y0－6|1＋k22＝916，解得y0＝187或y0＝－18(此时点M在圆O2外，舍去)，故定点M的坐标为0，187.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知直线l的方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.(1)求证：直线l过定点；(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线l的距离的最大值；(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．(1)证明直线l的方程可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0，由题意知，其对任意m都成立，所以－x＋2y＋3＝0，2x＋y＋4＝0，解得x＝－1，y＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)．(2)解由题意可知，点Q与定点(－1，－2)的距离就是所求最大值，即3＋12＋4＋22＝213.(3)解因为直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，所以可设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，k0，则A2k－1，0，B(0，k－2)，S△AOB＝122k－1|k－2|＝121－2k(2－k)＝2＋2－k＋－k2≥2＋2＝4，当且仅当2－k＝－k2，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0.18．(12分)一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)，求该圆的方程．解已知圆方程化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心P(1,0)，半径为1.设所求圆的圆心为C(a，b)．则半径为a－32＋b＋32，因为两圆外切，|PC|＝1＋a－32＋b＋32，从而a－12＋b2＝1＋a－32＋b＋32，①又所求圆与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)，所以直线CM⊥l，kCMkl＝－1，于是－13·b＋3a－3＝－1，即b＝3a－43，②将②代入①化简，得a－6＋2|a－3|＝0，解得a＝0或a＝4.当a＝0时，b＝－43，所求圆方程为x2＋(y＋43)2＝36，当a＝4时，b＝0，所求圆方程为(x－4)2＋y2＝4.19．(13分)已知曲线C上任意一点到原点的距离与到E(3，－6)的距离之比均为1∶2.(1)求曲线C的方程；(2)设点P(1，－2)，过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值．(1)解设曲线C上的任意一点为Q(x，y)，由题意得x2＋y2x－32＋y＋62＝12，所以曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)证明由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，点P(1，－2)在曲线C上，故可设PA：y＋2＝k(x－1)，由y＋2＝kx－1，x＋12＋y－22＝20，得(1＋k2)x2＋2(1－k2－4k)x＋k2＋8k－3＝0，因为点P的横坐标1一定是该方程的解，故可得xA＝k2＋8k－