2020高考数学刷题首选卷 考点测试19 同角三角函数基本关系与诱导公式 理（含解析）

考点测试19同角三角函数基本关系与诱导公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低、中等难度考纲研读1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式一、基础小题1．计算：sin600°＝()A．12B．－12C．32D．－32答案D解析sin600°＝－sin60°＝－32．故选D．2．若x是第四象限角，且sinx＝－45，则cosx＝()A．15B．－15C．35D．－35答案C解析x是第四象限角，cosx＞0，cosx＝1－sin2x＝1－－452＝35．故选C．3．已知sin(θ＋π)0，cos(θ－π)0，则下列不等关系中必定成立的是()A．sinθ0，cosθ0B．sinθ0，cosθ0C．sinθ0，cosθ0D．sinθ0，cosθ0答案B解析∵sin(θ＋π)0，∴－sinθ0，sinθ0．∵cos(θ－π)0，∴－cosθ0，∴cosθ0．故选B．4．点A(sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°0，cos2013°0，所以点A位于第三象限．故选C．5．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C．15D．35答案B解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35．故选B．6．已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1，2，－2}B．{－1，1}C．{2，－2}D．{1，－1，0，2，－2}答案C解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2．故选C．7．1－2sinπ＋2cosπ－2＝()A．sin2－cos2B．sin2＋cos2C．±(sin2－cos2)D．cos2－sin2答案A解析1－2sinπ＋2cosπ－2＝1－2sin2cos2＝sin2－cos22＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2．故选A．8．若sinθ＋cosθ＝23，则tanθ＋1tanθ＝()A．518B．－518C．185D．－185答案D解析由sinθ＋cosθ＝23，得1＋2sinθcosθ＝49，即sinθcosθ＝－518，则tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1sinθcosθ＝－185，故选D．9．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为()A．1＋5B．1－5C．1±5D．－1－5答案B解析由题意得sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以m24＝1＋m2，解得m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－5．故选B．10．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ＝()A．－π6B．－π3C．π6D．π3答案D解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，∵|θ|π2，∴θ＝π3．故选D．11．化简：sin2α＋πcosπ＋αcos－α－2πtanπ＋αsin3π2＋αsin－α－2π＝________．答案1解析原式＝sin2α－cosαcosαtanαcos3α－sinα＝sin2αcos2αsin2αcos2α＝1．12．若sinθcosθ＝18，θ∈π4，π2，则cosθ－sinθ＝________．答案－32解析(cosθ－sinθ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－14＝34，∵θ∈π4，π2，∴cosθsinθ，∴cosθ－sinθ＝－32．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A．6425B．4825C．1D．1625答案A解析当tanα＝34时，原式＝cos2α＋4sinαcosα＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425．故选A．14．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2答案B解析由条件得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α，因为－π2α－βπ2，0π2－απ2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2．故选B．15．(2016·四川高考)sin750°＝________．答案12解析sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12．三、模拟小题16．(2018·南昌摸底)已知sinθ＝13，θ∈π2，π，则tanθ＝()A．－2B．－2C．－24D．－28答案C解析因为θ∈π2，π，所以cosθ0，tanθ0，又sinθ＝13，则cosθ＝－1－sin2θ＝－223，进而有tanθ＝sinθcosθ＝－24，故选C．17．(2018·河北邯郸第一次模拟)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈0，π2，则tanαtanβ＝()A．2B．12C．3D．13答案A解析∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，∴tanα＝2tanβ，即tanαtanβ＝2，故选A．18．(2018·咸阳月考)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2018)的值为()A．－1B．1C．3D．－3答案C解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3．故选C．19．(2018·广州模拟)已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α＝()A．223B．13C．－13D．－223答案D解析因为5π12＋α＋π12－α＝π2，所以cosπ12－α＝sinπ2－π12－α＝sin5π12＋α．因为－πα－π2，所以－7π12α＋5π12－π12．又cos5π12＋α＝130，所以－π2α＋5π12－π12，所以sin5π12＋α＝－1－cos25π12＋α＝－1－132＝－223．故选D．20．(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为()A．－43B．43C．－43或0D．43或0答案D解析由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，因而5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝35或cosα＝－1，那么tanα＝43或0，故选D．21．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A．355B．377C．31010D．13答案C解析由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝31010．故选C．22．(2018·沈阳质检一)已知tanθ＝2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ的值为()A．195B．165C．2310D．1710答案C解析原式＝1＋1tanθ＋sin2θcos2θ＋sin2θ＝1＋12＋tan2θ1＋tan2θ＝32＋41＋4＝2310．故选C．23．(2018·湖北武汉调研)若tanα＝cosα，则1sinα＋cos4α＝________．答案2解析解法一：∵tanα＝cosα，∴sinαcosα＝cosα，∴sinα＝cos2α，∴1sinα＋cos4α＝1sinα＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋sin2α＝tan2α＋1＋sin2α＝cos2α＋1＋sin2α＝2．解法二：∵tanα＝cosα，∴sinαcosα＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝5－12或sinα＝－5－12(舍去)．∴cos2α＝5－12，∴1sinα＋cos4α＝1cos2α＋(cos2α)2＝25－1＋5－122＝5＋12＋3－52＝2．一、高考大题本考点在近三年高考中未独立命题．二、模拟大题1．(2018·河北唐山一中月考)已知tanαtanα－6＝－1，求下列各式的值：(1)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα；(2)1－3sinαcosα＋3cos2α．解由tanαtanα－6＝－1，得tanα＝3．(1)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα＝2－3tanα3＋4tanα＝－715．(2)1－3sinαcosα＋3cos2α＝1－3sinαcosα＋3cos2αcos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2α－3sinαcosα＋3cos2αcos2α＋sin2α＝sin2α－3sinαcosα＋4cos2αcos2α＋sin2α＝tan2α－3tanα＋4tan2α＋1＝25．2．(2018·吉林长春月考)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及θ的值．解(1)sinθ＋cosθ＝3＋12，①sinθcosθ＝m2，②sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12．(2)将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝2＋32．∴sinθcosθ＝34．由②式得m2＝34，∴m＝32．(3)由(2)可知原方程变为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12．∴sinθ＝32，cosθ＝12或cosθ＝32，sinθ＝12.又θ∈(0，2π)，∴θ＝π3或θ＝π6．3．(2018·河南洛阳一中调研)已知－π2α0，且函数f(α)＝cos3π2＋α－sinα1＋cosα1－cosα－1．(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝15，求sinαcosα和sinα－cosα的值．解(1)f(α)＝sinα－sinα1＋cosα21－cos2α－1＝sinα＋sinα·1＋cosαsinα－1＝sinα＋cosα．(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝15，两边平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝125，即2sinαcosα＝－2425，∴sinαcosα＝－1225，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925，又－π2α0，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝－75．解法二：联立方程sinα＋cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝－35，cosα＝45或sinα＝45，cosα＝－35.∵－π2α0，∴sinα＝－35，cosα＝45，∴sinαcosα＝－1225，sinα－cosα＝－75．4．(2018·四川宜宾月考)是否存在α∈－π2，