2020高考数学刷题首选卷 考点测试7 函数的奇偶性与周期性 理（含解析）

考点测试7函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则实数a＝()A．12B．23C．34D．1答案A解析函数f(x)的定义域为xx≠－12且x≠a．∵奇函数定义域关于原点对称．∴a＝12．故选A．2．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝()A．－1B．0C．1D．4答案B解析由题意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋f(－1)＝0．故选B．3．已知f(x)为奇函数，在[3，6]上是增函数，且在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()A．－15B．－13C．－5D．5答案A解析因为函数在[3，6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1．又因为函数为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15．故选A．4．已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，函数f(x)的最大值为()A．－14B．14C．12D．－12答案B解析解法一：设x0，则－x0，所以f(－x)＝x2＋x，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋122＋14，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14．故选B．解法二：当x0时，f(x)＝x2－x＝x－122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14．故选B．5．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝－f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．98答案A解析由f(x＋2)＝－f(x)，得f(7)＝－f(5)＝f(3)＝－f(1)＝－2．故选A．6．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB．12(ex＋e－x)C．ex＋e－xD．12(ex－e－x)答案D解析因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝12(ex－e－x)．故选D．7．已知函数f(x)＝g(x)＋x2，对于任意x∈R总有f(－x)＋f(x)＝0，且g(－1)＝1，则g(1)＝()A．－1B．1C．3D．－3答案D解析因为对于任意x∈R总有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，f(－1)＝g(－1)＋1＝－g(1)－1＝－f(1)，所以g(1)＝－3，故选D．8．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则()A．f(2)f(3)B．f(2)f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)f(6)答案D解析由y＝f(x＋4)为偶函数，得f(－x＋4)＝f(x＋4)，则f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C错误；又f(x)在(4，＋∞)上为减函数，则f(5)f(6)，即f(3)f(2)，A错误；f(5)f(2)，B错误；f(3)f(6)，D正确．故选D．9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[－1，1]C．(－∞，2]D．[－2，2]答案B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立等价于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1，1]，故选B．10．已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，则f(x)()A．为奇函数B．为偶函数C．为非奇非偶函数D．奇偶性不能确定答案B解析令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，即f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)是偶函数．故选B．11．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．答案4解析因为f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，所以x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，即a＝4．12．设函数f(x)＝x3cosx＋1．若f(a)＝11，则f(－a)＝________．答案－9解析记g(x)＝x3cosx，则g(x)为奇函数，故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50答案C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C．14．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]答案D解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．故选D．15．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a答案C解析依题意a＝g(－log25．1)＝(－log25．1)·f(－log25．1)＝log25．1·f(log25．1)＝g(log25．1)．因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则0＝f(0)f(x1)＜f(x2)．从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．又log25．1＞0，20．8＞0，3＞0，且log25．1＜log28＝3，20．8＜21＜3，而20．8＜21＝log24＜log25．1，所以3＞log25．1＞20．8＞0，所以c＞a＞b．故选C．16．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R．当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x12时，fx＋12＝fx－12．则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2答案D解析当x12时，由fx＋12＝fx－12，可得当x0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．17．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．答案－2解析∵f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2．18．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若f－52＝f92，则f(5a)的值是________．答案－25解析∵f(x)是周期为2的函数，∴f－52＝f－2－12＝f－12，f92＝f4＋12＝f12．又∵f－52＝f92，所以f－12＝f12，即－12＋a＝110，解得a＝35，则f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋35＝－25．三、模拟小题19．(2018·河南洛阳一模)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝π3，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝()A．π3B．2π3C．πD．4π3答案B解析由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)，则f(x)＝f(x＋4)．所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π3．故选B．20．(2018·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)0，则x的取值范围为()A．{x|0x1或x2}B．{x|x0或x2}C．{x|x0或x3}D．{x|x－1或x1}答案A解析∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1x0或x1时，f(x)0；x－1或0x1时，f(x)0．∴不等式f(x－1)0即－1x－10或x－11，解得0x1或x2，故选A．21．(2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A．y＝exB．y＝tanxC．y＝x3－xD．y＝ln2＋x2－x答案D解析函数y＝ex不是奇函数，不满足题意；函数y＝tanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y＝x3－x是奇函数，当x∈－33，33时，y′＝3x2－10，为减函数，不满足题意；函数y＝ln2＋x2－x是奇函数，在定义域(－2，2)内，函数t＝2＋x2－x＝－1－4x－2为增函数，函数y＝lnt也为增函数，故函数y＝ln2＋x2－x在定义域内为增函数，满足题意．故选D．22．(2018·山西太原一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4x2＋2，设g(x)＝f(x)－2x2，若g(x)的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝()A．1B．2C．3D．4答案B解析由g(x)＝f(x)－2x2，得g(－x)＝f(－x)－2x2，两式相加，可得g(－x)＋g(x)＝2，故g(x)的图象关于(0，1)对称，其最高点、最低点也关于(0，1)对称，所以M＋m＝2，故选B．23．(2018·湖南祁阳二模)已知偶函数fx＋π2，当x∈－π2，π2时，f(x)＝x13＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab答案D解析∵当x∈－π2，π2时，y＝sinx单调递增，y＝x13也为增函数，∴函数f(x)＝x13＋sinx也为增函数．∵函数fx＋π2为偶函数，∴f－x＋π2＝fx＋π2，f(x)的图象