2020高考数学刷题首选卷 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试33 一元二次不等式

考点测试33一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式2x2－x－3＞0的解集是()A．－32，1B．(－∞，－1)∪32，＋∞C．－1，32D．－∞，－32∪(1，＋∞)答案B解析2x2－x－3＞0可因式分解为(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＞32或x＜－1，∴不等式2x2－x－3＞0的解集是(－∞，－1)∪32，＋∞．故选B．2．若不等式ax2＋bx－20的解集为x－2x14，则ab＝()A．－28B．－26C．28D．26答案C解析∵－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴－2a＝－2×14＝－12，－ba＝－74，∴a＝4，b＝7，∴ab＝28．3．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案D解析不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，只需Δ＝a2－160，∴a－4或a4．故选D．4．关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A．52B．72C．154D．152答案A解析由x2－2ax－8a2＝0的两个根为x1＝－2a，x2＝4a，得6a＝15，所以a＝52．5．若函数f(x)＝kx2－6kx＋k＋8的定义域为R，则实数k的取值范围是()A．{k|0＜k≤1}B．{k|k＜0或k＞1}C．{k|0≤k≤1}D．{k|k＞1}答案C解析当k＝0时，8＞0恒成立；当k≠0时，只需k＞0，Δ≤0，即k＞0，36k2－4kk＋8≤0，则0＜k≤1．综上，0≤k≤1．6．不等式|x2－x|2的解集为()A．(－1,2)B．(－1,1)C．(－2,1)D．(－2,2)答案A解析由|x2－x|2，得－2x2－x2，即x2－x2，①x2－x－2.②由①，得－1x2．由②，得x∈R．所以解集为(－1,2)．故选A．7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为()A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间答案C解析设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]320，即x2－28x＋1920，解得12x16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．8．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)答案C解析∵二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，∴－2a－12×3≥1，解得a≤－2．故选C．9．设函数f(x)＝－2，x0，x2＋bx＋c，x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)D．[－3，＋∞)答案C解析当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4．又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4．当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1，有－3≤x≤－1；当x0时，f(x)＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．10．设a∈R，关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－20的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a－12，则原不等式的解集为－1a，2；④若a0，则原不等式的解集为－∞，－1a∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析原不等式等价于(ax＋1)(x－2)0．当a＝0时，不等式化为x－20，得x2．当a≠0时，方程(ax＋1)·(x－2)＝0的两根分别是2和－1a，若a－12，解不等式得－1ax2；若a＝－12，不等式的解集为∅；若－12a0，解不等式得2x－1a；若a0，解不等式得x－1a或x2．故①为假命题，②③④为真命题．11．若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，则a的值是()A．2或－1B．－1±52C．1±52D．2答案A解析令f(x)＝x2－2ax＋a，即f(x)＝(x－a)2＋a－a2，因为－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，所以a－a2＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1．故选A．12．已知三个不等式：①x2－4x＋30，②x2－6x＋80，③2x2－9x＋m0．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则m的取值范围为________．答案m≤9解析由①②得2x3，要使同时满足①②的所有x的值满足③，即不等式2x2－9x＋m0在x∈(2,3)上恒成立，即m－2x2＋9x在x∈(2,3)上恒成立，又－2x2＋9x在x∈(2,3)上大于9，所以m≤9．二、高考小题13．(经典浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3c≤6C．6c≤9D．c9答案C解析由f－1＝f－2，f－1＝f－3，得3a－b＝7，4a－b＝13，解得a＝6，b＝11.则有f(－1)＝c－6，由0f(－1)≤3，得6c≤9．14．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋40的解集为________(用区间表示)．答案(－4,1)解析不等式－x2－3x＋40等价于x2＋3x－40，解得－4x1．15．(经典江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则实数m的取值范围是________．答案－22，0解析由题可得f(x)0对于x∈[m，m＋1]恒成立，等价于fm＝2m2－10，fm＋1＝2m2＋3m0，解得－22m0．16．(经典四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x．那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．答案(－7,3)解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2018·温州九校联考)已知不等式ax2－5x＋b0的解集为{x|－3x－2}，则不等式bx2－5x＋a0的解集为()A．x－12＜x＜－13B．xx＞－13或x＜－12C．{x|－3＜x＜2}D．{x|x＜－3或x＞2}答案A解析由题意得5a＝－3－2，ba＝－3×－2，解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a＞0为－6x2－5x－1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，所以解集为x－12＜x＜－13．故选A．18．(2018·贵阳一模)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4]D．[－4，＋∞)答案D解析依题意得函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故选D．19．(2018·湖南湘潭一中模拟)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．－∞，－1311D．－∞，－1311∪(1，＋∞)答案C解析①当m＝－1时，不等式化为2x－60，即x3，显然不对任意实数x恒成立．②当m≠－1时，由题意得m＋10，Δ0，所以m－1311．故选C．20．(2018·河北石家庄二中月考)在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)答案B解析根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－20，解得－2x1，所以实数x的取值范围为(－2,1)，故选B．21．(2018·湖北沙市中学月考)已知函数f(x)＝mx2－mx－1．若对于任意的x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，则实数m的取值范围是()A．－∞，67B．(－∞，1)C．(1,5)D．(1，＋∞)答案A解析因为f(x)－m＋5⇔m(x2－x＋1)6，而x2－x＋10，所以将不等式变形为m6x2－x＋1，即不等式m6x2－x＋1对于任意x∈[1,3]恒成立，所以只需求6x2－x＋1在[1,3]上的最小值即可．记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1＝x－122＋34，显然h(x)在x∈[1,3]上为增函数．所以g(x)在[1,3]上为减函数，所以g(x)min＝g(3)＝67，所以m67．故选A．22．(2018·江西八校联考)已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且y＝f(x＋2)为偶函数，则关于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)0的解集为()A．－∞，－43∪(2，＋∞)B．－43，2C．－∞，43∪(2，＋∞)D．43，2答案D解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴由f(2x－1)－f(x＋1)0得f(2x－1)f(x＋1)，∴|2x－1－2||x＋1－2|，∴(2x－3)2(x－1)2，即3x2－10x＋80，(x－2)(3x－4)0，解得43x2，故选D．23．(2018·福建漳州八校联考)对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式kx＋a＋x＋bx＋c＜0的解集为－2，－13∪12，1，则关于x的不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0的解集为________．答案－3，－12∪(1,2)解析由kx＋a＋x＋bx＋c＜0的解集为－2，－13∪12，1，且k1x＋a＋1x＋b1x＋c＜0，即kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0，得－2＜1x＜－13或12＜1x＜1，即－3＜x＜－12或1＜x＜2，故不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0的解集为－3，－12∪(1,2)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·黑龙江虎林一中模拟)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)0的解集是(0，5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．解(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b2＝5，c2＝0，∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2