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考点测试30等比数列高考概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题和解答题,分值5分、12分,中、低等难度考纲研读1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系一、基础小题1.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,则a5=()A.16B.16或-16C.32D.32或-32答案A解析由a4=a1q3,则q=2,所以a5=a4q=16.故选A.2.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=()A.10B.25C.50D.75答案B解析因为a7a12=a8a11=a9a10=5,所以a8a9a10a11=52=25.故选B.3.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2a6=9a4,a2=1,则a1的值为()A.3B.-3C.-13D.13答案D解析设数列{an}的公比为q,由a2·a6=9a4,得a2·a2q4=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以a1=a2q=13.故选D.4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.3答案A解析∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比数列{an}中,a22=a1a3,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得ab=-3.故选A.5.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为()A.2B.4C.8D.16答案B解析由anan+1=a2nq=16n0知q0,又an+1an+2anan+1=q2=16n+116n=16,所以q=4.故选B.6.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4S2=3,则S6S4=()A.2B.73C.310D.1或2答案B解析设S2=k,则S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴S6S4=7k3k=73,故选B.7.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3·…·a30=230,则a3a6a9·…·a30=()A.210B.220C.216D.215答案B解析因为a1a2a3=a32,a4a5a6=a35,a7a8a9=a38,…,a28a29a30=a329,所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230.所以a2a5a8…a29=210.则a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)=(a2a5a8·…·a29)q10=210×210=220,故选B.8.在数列{an}中,已知a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1)(n≥2,n∈N*),则这个数列的前4项和S4=________.答案27解析由已知n≥2时,an=2Sn-1,an+1=2Sn,∴an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),∴an=1,n=1,2×3n-2,n≥2,∴S4=1+2+6+18=27.二、高考小题9.(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案D解析由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为122的等比数列,设该等比数列为{an},则a8=a1q7,即a8=1227f,故选D.10.(2018·浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a4B.a1a3,a2a4C.a1a3,a2a4D.a1a3,a2a4答案B解析设f(x)=lnx-x(x0),则f′(x)=1x-1=1-xx,令f′(x)0,得0x1,令f′(x)0,得x1,∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴f(x)≤f(1)=-1,即有lnx≤x-1.从而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,∴a40,又a11,∴公比q0.若q=-1,则a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)=lna10,矛盾.若q-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)0,∴ln(a1+a2+a3)lna10,也矛盾.∴-1q0.从而a3a1=q21,∵a10,∴a1a3.同理,∵a4a2=q21,a20,∴a4a2.故选B.11.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B解析由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…,a7构成以2为公比的等比数列,∴S7=a11-271-2=381,∴a1=3.故选B.12.(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=________.答案1解析设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.∵a1=b1=-1,a4=b4=8,∴-1+3d=8,-1·q3=8,∴d=3,q=-2.∴a2=2,b2=2.∴a2b2=22=1.13.(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=________.答案32解析设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得a11-q31-q=74,a11-q61-q=634,解得a1=14,q=2,∴a8=a1q7=14×27=32.14.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.答案64解析设{an}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=12,∴an=24-n,∴a1a2…an=23+2+1+…+(4-n)=2-12n2+72n=2-12n-722+498≤26=64,∴a1a2…an的最大值为64.三、模拟小题15.(2018·呼和浩特调研)已知等比数列{an}的公比q0,且a5a7=4a24,a2=1,则a1=()A.12B.22C.2D.2答案B解析因为{an}是等比数列,所以a5a7=a26=4a24,所以a6=2a4,q2=a6a4=2,又q0,所以q=2,a1=a2q=22,故选B.16.(2018·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a2a4=16,S3=7,则a8=()A.32B.64C.128D.256答案C解析∵a2a4=a23=16,∴a3=4(负值舍去),∵a3=a1q2=4,S3=7,∴S2=a11-q21-q=3,∴3q2-4q-4=0,解得q=-23或q=2,∵an0,∴q=2,∴a1=1,∴a8=27=128.故选C.17.(2018·长沙统考)设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是()A.Sn=4-3anB.Sn=3-2anC.Sn=3an-2D.Sn=2an-1答案B解析由题意,an=23n-1,Sn=1-23n1-23=31-23n=3-2×23n-1,所以Sn=3-2an,故选B.18.(2018·唐山期末)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若{Sn+λ}为等比数列,则λ=()A.-1B.1C.-2D.2答案B解析由a1=1,an+1=2an,得a2=2,a3=4,所以S1=a1=1,S2=S1+a2=3,S3=S2+a3=7.而{Sn+λ}为等比数列,所以(3+λ)2=(1+λ)(7+λ),解得λ=1.故选B.19.(2019·陕西西安市八校联考)设公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=________.答案32或-1解析∵公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=a4+a3=3a4-3a2,即2q2-q-3=0,∴q=32或-1.20.(2018·乌鲁木齐一诊)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,则以S1,S3,S4为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________.答案5解析设正项等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S1=a1,S3=3a1,S4=4a1.显然不符合题意,所以q≠1.因为S1,S3,S4为等差数列的前三项,所以S4-S3=S3-S1,即a4=a3+a2,得a2q2=a2q+a2,所以q2=q+1,解得q=1+52(负值舍去).所以该等差数列的第8项与第4项之比为S1+7S3-S1S1+3S3-S1=a1+7a2+a3a1+3a2+a3=a1+7a1q+7a1q2a1+3a1q+3a1q2=1+7q+7q21+3q+3q2=1+7q+7q+11+3q+3q+1=7q+43q+2=5.一、高考大题1.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解(1)由条件可得an+1=2n+1nan.将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由题设条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n·2n-1.2.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.解(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1--2n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.3.(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②联立①和②解得d=3,q=0(舍去)或d=1,q=2.因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T
本文标题:2020高考数学刷题首选卷 第四章 数列 考点测试30 等比数列 文(含解析)
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