2020高考数学刷题首选卷 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试24 解三角形的应用 文（

考点测试24解三角形的应用一、基础小题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝6，BC＝2，则A＝()A．135°B．45°C．30°D．45°或135°答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得2sinA＝6sin60°，则sinA＝22．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故选B．3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝32，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为()A．310B．10C．13D．32答案B解析由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(32)2－2×6×32cos∠BAC＝90，解得BC＝310．由cos∠ABC＝3t＝62＋3102－3222×6×310，解得t＝10．故选B．4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．1762海里/小时B．346海里/小时C．1722海里/小时D．342海里/小时答案A解析如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346．∴v＝MN4＝1762(海里/小时)．故选A．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个角为30°的直角三角形D．有一个角为30°的等腰三角形答案B解析由正弦定理，得sinAa＝sinBb＝sinCc，又sinAa＝cosBb＝cosCc，两式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形．故选B．6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．7．一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．答案70解析依题意画出图形，连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN2＝502＋802－2×50×80×cos60°，即AN＝70．应用余弦定理可得cos∠ANM＝502＋702－8022×50×70＝17，所以sin∠ANM＝437．在△ANB中，应用余弦定理可得AB2＝(303)2＋702－2×303×70×cos∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150°－∠ANM)＝cos150°cos∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝3314，所以AB＝3032＋702－2×303×70×3314＝70．8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m．答案10(3－3)解析由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝ABcos15°，所以AD＝AEsin45°sin30°＝2ABcos15°，因此CD＝ADsin60°＝2×10cos45°－30°×sin60°＝10(3－3)．二、高考小题9．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A．31010B．1010C．－1010D．－31010答案C解析解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝13BC，则CD＝23BC，AB＝23BC，AC＝53BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝29BC2＋59BC2－BC22×23BC×53BC＝－1010．故选C．解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝13BC，则CD＝23BC，在Rt△ADC中，AC＝53BC，sin∠DAC＝255，cos∠DAC＝55，又因为∠B＝π4，所以cos∠BAC＝cos∠DAC＋π4＝cos∠DAC·cosπ4－sin∠DAC·sinπ4＝55×22－255×22＝－1010．故选C．10．(2018·北京高考)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．答案π3(2，＋∞)解析依题意有12acsinB＝34(a2＋c2－b2)＝34×2accosB，则tanB＝3，∵0∠Bπ，∴∠B＝π3．ca＝sinCsinA＝sin2π3－AsinA＝12＋3cosA2sinA＝12＋32·1tanA，∵∠C为钝角，∴2π3－∠Aπ2，又∠A0，∴0∠Aπ6，则0tanA33，∴1tanA3，故ca12＋32×3＝2．故ca的取值范围为(2，＋∞)．11．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．答案9解析解法一：依题意画出图形，如图所示．易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即12csin60°＋12asin60°＝12acsin120°，∴a＋c＝ac，∴1a＋1c＝1，∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9，当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”．解法二：作DE∥CB交AB于E，∵BD为∠ABC的平分线，∴BABC＝ADDC＝ca，∵DE∥CB，∴ADAC＝AEAB＝DEBC＝ca＋c，∴BE→＝aa＋cBA→，ED→＝ca＋cBC→．∴BD→＝aa＋cBA→＋ca＋cBC→．∴BD2→＝aa＋cBA→＋ca＋cBC→2，∴1＝aa＋cBA→2＋ca＋cBC→2＋2·aa＋c·ca＋c|BA→|·|BC→|×－12，∴1＝ac2a＋c2，∴ac＝a＋c，∴1a＋1c＝1，∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9，当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”．解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(1,0)，∵AB＝c，BC＝a，∴Ac2，32c，Ca2，－32a．∵A，D，C三点共线，∴AD→∥DC→，∴1－c2－32a＋32ca2－1＝0，∴ac＝a＋c，∴1a＋1c＝1，∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9，当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”．12．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．答案(6－2，6＋2)解析解法一：如图所示，因为∠A＝∠B＝∠C＝75°，所以∠D＝135°．因为BC＝2，所以当点D与点C重合时，由正弦定理可得ABsin30°＝BCsin75°，解得AB＝6－2．当点D与点A重合时，由正弦定理可得ABsin75°＝BCsin30°，解得AB＝6＋2．因为ABCD为平行四边形，所以AB∈(6－2，6＋2)．所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．解法二：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BFABBE．在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，BEsin75°＝2sin30°，∴BE＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2AB6＋2．所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．13．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．答案152104解析∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22·AB·BC＝14．∵∠ABC为三角形的内角，∴sin∠ABC＝154，∴sin∠CBD＝154，故S△CBD＝12×2×2×154＝152．∵BD＝BC＝2，∴∠ABC＝2∠BDC．又cos∠ABC＝14，∴2cos2∠BDC－1＝14，得cos2∠BDC＝58，又∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝104．三、模拟小题14．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．2akmC．2akmD．3akm答案D解析如图所示，依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，AC＝BC＝akm，在△ABC中，由余弦定理知AB＝a2＋a2－2·a·a·－12＝3a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为3akm．故选D．15．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14a2c2－a2＋c2－b222．若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A．3B．2C．3D．6答案A解析由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式得14×16－22＝3．故选A．16．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知三个向量m＝a，cosA2，n＝b，cosB2，p＝c，cosC2共线，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案A解析∵向量m＝a，cosA2，n＝b，cosB2共线，∴acosB2＝bcosA2．由正弦定理得sinAcosB2＝sinBcosA2．∴2sinA2cosA2cosB2＝2sinB2cosB2cosA2，∴sinA2＝sinB2．∵0A2π2，0B2π2，∴A2＝B2，∴A＝B．同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选A．17．(2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为________．答案217解析如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsinθ，∴sinθ＝217．18．(2018·广东汕头期末)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音比B地晚217秒(已知声音传播速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角