2020高考数学刷题首选卷 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试21 两角和与差的正弦 文

考点测试21两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案A解析由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3．故选A．2．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为()A．－72B．－12C．12D．72答案C解析依题意得cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－22，所以cosα＋sinα＝12．故选C．3．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为()A．12B．32C．－12D．－32答案A解析cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A．4．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°答案B解析2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos215°－sin215°＝cos30°＝32，2sin215°－1＝－cos30°＝－32，sin215°＋cos215°＝1．故选B．5．已知cosπ4－x＝35，则sin2x＝()A．1128B．725C．－725D．－1625答案C解析解法一：因为cosπ4－x＝cosπ4cosx＋sinπ4·sinx＝22(cosx＋sinx)＝35，所以cosx＋sinx＝325，cos2x＋sin2x＋2sinxcosx＝1825，则2sinxcosx＝－725，即sin2x＝－725．故选C．解法二：sin2x＝sinπ2－2π4－x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝2×352－1＝－725．故选C．6．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6＝()A．－235B．235C．－45D．45答案C解析因为cosα－π6＋sinα＝435，所以32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即12cosα＋32sinα＝45，所以sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45．故选C．7．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．答案3解析tanβ＝tan(α＋β－α)＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα＝17＋21－27＝3．8．求值：cos10°－3sin10°sin20°＝________．答案2解析原式＝212cos10°－32sin10°sin20°＝2sin30°－10°sin20°＝2．二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C．29D．79答案A解析∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝432＝169，∴sin2α＝－79．故选A．10．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A．89B．79C．－79D．－89答案B解析cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79，故选B．11．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________．答案32解析tanα－5π4＝tanα－tan5π41＋tanα·tan5π4＝tanα－11＋tanα＝15，解方程得tanα＝32．12．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________．答案31010解析因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22(sinα＋cosα)＝31010．13．(2016·四川高考)cos2π8－sin2π8＝________．答案22解析由二倍角公式易得cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22．三、模拟小题14．(2018·河北唐山调研)sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝()A．－12B．32C．22D．12答案D解析sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°·cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12．故选D．15．(2018·江西南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()A．12B．32C．－12D．－32答案A解析由三角函数的定义可知：sinα＝cos47°sin247°＋cos247°＝cos47°，cosα＝sin47°sin247°＋cos247°＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12．故选A．16．(2018·广东省际名校联考二)若cosα＋π3＝45，则cosπ3－2α＝()A．2325B．－2325C．725D．－725答案D解析∵cosα＋π3＝45，∴cosα＋π3＝sinπ2－α＋π3＝sinπ6－α＝45，∴cosπ3－2α＝1－2sin2π6－α＝－725．故选D．17．(2018·山西长治二模)已知sinα＝1010，α∈0，π2，则cos2α＋π6的值为()A．43－310B．43＋310C．4－3310D．33－410答案A解析∵sinα＝1010，α∈0，π2，∴cosα＝31010，sin2α＝2sinαcosα＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×10102＝1－15＝45，∴cos2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310．故选A．18．(2018·河南洛阳二模)已知sinα＋cosα＝52，则cos4α＝________．答案78解析由sinα＋cosα＝52，得sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×142＝78．一、高考大题1．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα．因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725．(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2．因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247．因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211．二、模拟大题2．(2019·河北唐山调研)已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322．(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ的值．解(1)由f5π12＝322，即Asin5π12＋π3＝322，可得Asin3π4＝2A2＝322，解得A＝3．(2)由f(θ)－f(－θ)＝3sinθ＋π3－3sin－θ＋π3＝3sinθ＝3，解得sinθ＝33．因为θ∈0，π2，所以cosθ＝1－332＝63，所以fπ6－θ＝3sinπ2－θ＝3cosθ＝3×63＝6．3．(2018·合肥质检)已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tanα－1tanα．解(1)cosπ6＋αcosπ3－α＝cosπ6＋αsinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12．又因为α∈π3，π2，故2α＋π3∈π，4π3，从而cos2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12．(2)∵α∈π3，π2，∴2α∈2π3，π．又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23．或者由(1)知2α＋π3＝7π6，所以α＝5π12，所以sin2α＝sin5π6＝12，cos2α＝cos5π6＝－32，所以tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－cos2α12sin2α＝23．4．(2018·山东桓台第二中学4月月考)已知函数f(x)＝a＋2cos2x2cos(x＋θ)为奇函数，且fπ2＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若α∈π2，π，fα2＋π8＋25cosα＋π4cos2α＝0，求cosα－sinα的值．解(1)因为f(x)＝a＋2cos2x2cos(x＋θ)是奇函数，所以a＋2cos2x2cos(x＋θ)＝－a＋2cos2x2·cos(－x＋θ)，化简，整理得，cosxcosθ＝0，则有cosθ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sinxa＋2cos2x2．由fπ2＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1．(2)由(1)知f(x)＝－12sin2x，fα2＋π8＋25cosα＋π4cos2α＝0⇒sinα＋π4＝45cosα＋π4cos2α，因为cos2α＝sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sinα＋π4cosα＋π4，所以sinα＋π4＝85cos2α＋π4sinα＋π4．又α∈π2，π，所以sinα＋π4＝0或cos2α＋π4＝58．由sinα＋π4＝0⇒α＝3π4，所以cosα－sinα＝cos3π4－sin3π4＝－2；由cos2α＋π4＝58，3π4α＋π45π4，得cosα＋π4＝－522⇒12(cosα－sinα)＝－522⇒cosα－sinα＝－52．综上，cosα－sinα＝－2或cosα－sinα＝－52．5．(2018·广西南宁质检)已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12．由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35，所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35．(2)由(1)得，f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12．由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4．所以－22≤sin2x＋π4≤1,0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12．