2020高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试15 导数的应用（一） 文（含解析）

考点测试15导数的应用(一)一、基础小题1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案A解析f′(x)＝1－cosx0，∴f(x)在(0，2π)上递增．2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)＝2x＋lnx(x0)，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，x2时，f′(x)0，这时f(x)为增函数；0x2时，f′(x)0，这时f(x)为减函数，据此知x＝2为f(x)的极小值点，故选D.3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案C解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．所以f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数，所以当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.故选C.4．已知函数f(x)＝x3＋ax，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a≥0时，f′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)在R上单调递增，“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.5．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在(－2，1)上f(x)是增函数B．在(1，3)上f(x)是减函数C．在(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值答案C解析由导函数f′(x)的图象知，f(x)在(－2，1)上先减后增，在(1，3)上先增后减，在(4，5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点．故选C.6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值，且最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()A．0B．－5C．－10D．－37答案D解析由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x0或x2时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，∴f(x)在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.7．已知函数f(x)＝ax－1＋lnx，存在x00，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞，1]D．[3，＋∞)答案C解析由于函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式f(x)＝ax－1＋lnx≤0有解，即a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解．令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝1－(lnx＋1)＝－lnx，令h′(x)＝0，得x＝1，当0x1时，h′(x)0，当x1时，h′(x)0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xlnx取得最大值，要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只需a≤h(x)max＝h(1)即可，即a≤1.8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．答案m6或m－3解析对函数f(x)求导得f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则f′(x)＝0有两个不同的根，所以判别式Δ0，即Δ＝4m2－12(m＋6)0，所以m2－3m－180，解得m6或m－3.二、高考小题9．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确．故选D.10．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案A解析由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(－2，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．答案－332解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4(cosx＋1)cosx－12，所以当cosx≤12时函数单调递减，当cosx≥12时函数单调递增，从而得到函数的减区间为2kπ－5π3，2kπ－π3(k∈Z)，函数的增区间为2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)，所以当x＝2kπ－π3，k∈Z时，函数f(x)取得最小值，此时sinx＝－32，sin2x＝－32，所以f(x)min＝2×－32－32＝－332.12．(2018·江苏高考)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．答案－3解析∵f(x)＝2x3－ax2＋1，∴f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．若a≤0，则x0时，f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上没有零点，不符合题意，∴a0.当0xa3时，f′(x)0，f(x)为减函数；当xa3时，f′(x)0，f(x)为增函数，∴x0时，f(x)有极小值，为fa3＝－a327＋1.∵f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，∴fa3＝0，∴a＝3.∴f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)．x－1(－1，0)0(0，1)1f′(x)＋＋0－0f(x)－4增1减0∴f(x)在[－1，1]上的最大值为1，最小值为－4.∴最大值与最小值的和为－3.13．(2016·北京高考)设函数f(x)＝{x3－3x，x≤a－2x，xa.(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)若a＝0，则f(x)＝{x3－3x，x≤0，－2x，x0.当x0时，f(x)＝－2x0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x－1时，f′(x)0，f(x)是增函数，当－1x0时，f′(x)0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2.∴f(x)的最大值为2.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝－2x和y＝x3－3x的图象，如图所示，当a－1时，f(x)无最大值；当－1≤a≤2时，f(x)max＝2；当a2时，f(x)max＝a3－3a.综上，当a∈(－∞，－1)时，f(x)无最大值．三、模拟小题14．(2018·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－xe(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A．2e－1B．－1eC．1D．2ln2答案D解析由题意知f′(x)＝2ef′ex－1e，∴f′(e)＝2ef′ee－1e，f′(e)＝1e，∴f′(x)＝2x－1e，令f′(x)＝0，得x＝2e，∴f(x)在(0，2e)上递增，在(2e，＋∞)上递减，∴f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln2，选D.15．(2018·豫南九校第四次质量考评)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()①f(b)f(a)f(c)；②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；④函数f(x)的最小值为f(d)．A．③B．①②C．③④D．④答案A解析由导函数图象可知在(－∞，c)，(e，＋∞)上，f′(x)0，在(c，e)上，f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，所以f(a)f(b)f(c)，函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，函数f(x)没有最小值．故选A.16．(2018·湖北黄冈、黄石等八校3月联考)已知实数a0，且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A．1a≤5B．2≤a≤5C．a1D．a≤5答案B解析函数f(x)在R上单调递增，则a1，当x≥1时，f(x)＝x2＋4x＋alnx，则f′(x)＝2x－4x2＋ax＝2x3＋ax－4x2，则2x3＋ax－4≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴a≥4x－2x2在x∈[1，＋∞)上恒成立，由于y＝4x－2x2在[1，＋∞)上单调递减，∴ymax＝2，则a≥2，当x＝1时，a≤1＋4＝5.综上，实数a的取值范围是2≤a≤5.故选B.17．(2018·华大新高考联盟4月教学质量检测)∀x∈π6，5π6，xsinx∈(m，n)(mn)，则n－m的最小值为()A.π－22B.5π－33C.4π3D.π6答案C解析设f(x)＝xsinx，x∈π6，5π6，则f′(x)＝sinx－xcosxsinx2，x∈π6，5π6，设g(x)＝sinx－xcosx，x∈π6，5π6，则g′(x)＝cosx－(cosx－xsinx)＝xsinx，则g′(x)0在x∈π6，5π6上恒成立，函数g(x)＝sinx－xcosx在x∈π6，5π6上单调递增，g(x)gπ6＝sinπ6－π6cosπ6≈0.050，∴f′(x)0在x∈π6，5π6上恒成立，即函数f(x)＝xsinx在x∈π6，5π6上单调递增，fπ6f(x)f5π6，∴π3f(x)5π3，则n－m的最小值为4π3.故选C.18．(2018·湖南张家界第三次模拟)已知关于x的不等式m(x2－2x)ex＋1≥ex在(－∞，0]上恒成立，则实数m的取值范围为()A．[－1，＋∞)B．[0，＋∞)C．－12，＋∞D.13，＋∞答案C解析令f(x)＝m(x2－2x)ex＋1－ex，x∈(－∞，0]，∵x∈(－∞，0]，∴x2－2x≥0.当m＝0时，f(x)＝1－ex≥1－e0＝0，符合题意；当m0时，f(x)＝m(x2－2x)ex＋1－ex≥1－ex≥0，符合题意；当－12≤m0时，f′(x)＝(mx2－2m－1)ex≤0恒成立，则f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)≥f(0)＝0，符合题意；当m－12时，令f′(x)＝0，解得x＝－2＋1m(正值舍去)，则f(x)在－2＋1m，0上单调递增，在－∞，－2＋1m上单调递减，∴存在x0，使得f(x0)f(0)＝0，不符合题意，舍去．综上所述，实数m的取值范围为－12，＋∞.故选C.一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．解(1)当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)在