2020高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试14 变化率与导数 文（含解析）

考点测试14变化率与导数、导数的计算一、基础小题1．下列求导运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx答案B解析x＋1x′＝1－1x2；(3x)′＝3x·ln3；(x2cosx)′＝(x2)′·cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以A，C，D错误．故选B.2．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′π2的值为()A.π2B．0C．－1D．1答案B解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴f′π2＝π2cosπ2＝0，故选B.3．设f(x)＝xlnx，f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln2答案B解析∵f′(x)＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴x0＝e.故选B.4．已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在4s末的瞬时速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/s答案A解析ΔsΔt＝7Δt＋Δt2Δt＝7＋Δt，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于7.故选A.5．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2＋8xB．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2xD．f(x)＝x2－2x答案B解析由题意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，则f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x.6．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B解析f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线的斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．7．设f(x)是可导函数，且满足limΔx→0f2Δx＋1－f12Δx＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．－1B．1C．2D．－2答案A解析limΔx→0f2Δx＋1－f12Δx＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义知，y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.8．已知过点P(2，－2)的直线l与曲线y＝13x3－x相切，则直线l的方程为________．答案y＝8x－18或y＝－x解析设切点为(m，n)，因为y′＝x2－1，所以m2－1＝n＋2m－2，n＝13m3－m，解得m＝3，n＝6或m＝0，n＝0，所以切线的斜率为8或－1，所以切线方程为y＝8x－18或y＝－x.二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案D解析因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D.10．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线方程为________．答案y＝2x－2解析由y＝f(x)＝2lnx，得f′(x)＝2x，则曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线的斜率为k＝f′(1)＝2，则所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.11．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.答案－3解析由y′＝aex＋(ax＋1)ex，则f′(0)＝a＋1＝－2.所以a＝－3.12．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．答案1解析由题意可知f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.13．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案y＝－2x－1解析令x0，则－x0，f(－x)＝lnx－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝lnx－3x(x0)，则f′(x)＝1x－3(x0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.三、模拟小题14．(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为()A．y＝xB．x＝0C．y＝0D．不存在答案C解析函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0，故选C.15．(2018·福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln1x，则f(1)＝()A．－eB．2C．－2D．e答案B解析由已知得f′(x)＝2f′(1)－1x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.16．(2018·广东深圳二模)设函数f(x)＝x＋1x＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝()A．1B．0C．－1D．－2答案D解析由题意可得，f(a)＝a＋1a＋b，f′(x)＝1－1x2，所以f′(a)＝1－1a2，故切线方程是y－a－1a－b＝1－1a2(x－a)，将(0，0)代入得－a－1a－b＝1－1a2(－a)，故b＝－2a，故ab＝－2，故选D.17．(2018·湖南株洲高三教学质量统一检测二)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部分可以是()答案A解析由f(x)＝xsinx＋cosx可得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，即y＝g(t)＝tcost，是奇函数，排除B，D；当t∈0，π2时，y＝g(t)0，排除C.故选A.18．(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝2lnx1e≤x≤e2，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________．答案[－2e－32，3e]解析直线g(x)＝mx＋1关于直线y＝1对称的直线为y＝－mx＋1，因为f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，所以直线y＝－mx＋1与f(x)＝2lnx的图象在1e，e2上有交点，直线y＝－mx＋1过定点(0，1)，当直线y＝－mx＋1经过点1e，－2时，－2＝－me＋1，解得m＝3e，当直线y＝－mx＋1与y＝2lnx1e≤x≤e2相切时，设切点为(x，y)，则y＝－mx＋1，y＝2lnx，2x＝－m，解得x＝e32，y＝3，m＝－2e32.∴－2e32≤m≤3e时，直线y＝－mx＋1与y＝2lnx的图象在1e，e2上有交点，即f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，故实数m的取值范围是[－2e－32，3e]．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ax2＋x－1ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.解(1)f′(x)＝－ax2＋2a－1x＋2ex，f′(0)＝2.因此曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程是y＋1＝2x，即2x－y－1＝0.(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)·e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x－1时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x－1时，g′(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.2．(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．解(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝12.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a1，则当x∈1a，1时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－10，所以f′(x)0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．3．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．所以对任意x∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.二、模拟大题4．(2018·福州质检)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)0，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)0等价于lnx－ax－1x＋10.令g(x)＝lnx－ax－1x＋1，则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋10，故g′(x)0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)g(1)＝0；②当a2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1，由x21和x1x2＝1，得x11，故当x∈(1，x2)时，g′(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)g(1)＝0，不符合题意，舍去．综上，a的取值范围是(－∞，2]．5．(2018·江西赣州摸底)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.解(1)f′(x)＝lnx－1x2，g′(x)＝－ae1－x－1x2－b.由g1＝1，g′1·f′1＝－1，得a＝b，a＋b＝－2，所以a＝b＝－1.(2)证明