2020高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试12 函数与方程 文（含解析）

考点测试12函数与方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、高等难度考纲研读结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数一、基础小题1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12答案C解析由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.2．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，1)答案C解析由题意知，f(－1)f(1)0，即(1－a)(1＋a)0，解得a－1或a1.3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)0.A，B中不存在f(x)0，D中函数不连续．故选C.4．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)0，f(0.5)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0，0.5)，f(0.125)B．(0.5，1)，f(0.875)C．(0.5，1)，f(0.75)D．(0，0.5)，f(0.25)答案D解析∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)0，f(0.5)0，∴f(0)·f(0.5)0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)，故选D.5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有答案C解析∵f(1)0，f(2)0，∴f(x)在(1，2)上必有零点，又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点．6．函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数即为函数y＝3x与函数y＝2－x2的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为2，故选C.7．已知自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…则方程2x＝x2的一个根位于区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)答案C解析令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)0，h(2.2)0.故选C.8．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间为()A．(－1，0)B．0，12C.12，1D．1，32答案C解析∵f12＝e12－20，f(1)＝e－10，∴零点在12，1上，故选C.9．设函数f(x)＝x3－3x，若函数g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零点，则实数t的取值范围是()A．(－23，23)B．(－3，3)C．[－23，23]D．[－3，3]答案C解析由题意，g(x)＝x3－3x＋(t－x)3－3(t－x)＝3tx2－3t2x＋t3－3t，当t＝0时，显然g(x)＝0恒成立；当t≠0时，只需Δ＝(－3t2)2－4×3t×(t3－3t)≥0，化简得t2≤12，即－23≤t≤23，t≠0.综上可知，实数t的取值范围是[－23，23]．10．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又abc，则f(a)0，f(b)0，f(c)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a，b)和(b，c)内．11．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．答案(－2，1)解析函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，得－2a1.故实数a的取值范围是(－2，1)．12．函数f(x)＝|x2＋2x－1|，x≤0，2x－1＋a，x0有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．答案－∞，－12解析由于当x≤0时，f(x)＝|x2＋2x－1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x－1＋a＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a，结合图形只需－2a1⇒a－12即可．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案C解析画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线y＝－x过点A时，直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C.14．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1答案C解析解法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a()et＋e－t－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝12.故选C.解法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.15．(2017·山东高考)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0，1]∪[23，＋∞)B．(0，1]∪[3，＋∞)C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)答案B解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－1m2与g(x)＝x＋m的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；(2)当m＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B.16．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝x2＋4a－3x＋3a，x0，logax＋1＋1，x≥0(a0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.0，23B.23，34C.13，23∪34D.13，23∪34答案C解析要使函数f(x)在R上单调递减，只需3－4a2≥0，0a1，3a≥1，解得13≤a≤34，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点，如图所示．易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1a－1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则2－x0＝x20＋4a－3x0＋3a，－1＝2x0＋4a－3，整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝34.而当3a≤2，即a≤23时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈13，23∪34.17．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案3解析∵0≤x≤π，∴π6≤3x＋π6≤19π6.由题可知，当3x＋π6＝π2，3x＋π6＝3π2，或3x＋π6＝5π2时，f(x)＝0.解得x＝π9，4π9，或7π9.故函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]上有3个零点．18．(2018·天津高考)已知a0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．答案(4，8)解析设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋ax＋a，x≤0，－x2＋ax－2a，x0，方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解即函数y＝g(x)有两个零点，即y＝g(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的y＝g(x)的图象有以下两种情况：情况一：则Δ1＝a2－4a0，Δ2＝a2－8a0，∴4a8.情况二：则Δ1＝a2－4a0，Δ2＝a2－8a0，不等式组无解．综上，满足条件的a的取值范围是(4，8)．19．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，xλ.当λ＝2时，不等式f(x)0的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．答案(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)解析当λ＝2时，不等式f(x)0等价于x≥2，x－40或x2，x2－4x＋30，即2≤x4或1x2，故不等式f(x)0的解集为(1，4)．易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞)．三、模拟小题20．(2018·河南濮阳一模)函数f(x)＝ln2x－1的零点所在区间为()A．(2，3)B．(3，4)C．(0，1)D．(1，2)答案D解析由f(x)＝ln2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)＝ln2－10，f(2)＝ln4－10，根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1，2)上，故选D.21．(2018·安徽安庆二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为()A．3B