您好,欢迎访问三七文档
考点测试12函数与方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题,分值5分,中、高等难度考纲研读结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数一、基础小题1.若函数f(x)=ax+b的零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2B.0,12C.0,-12D.2,-12答案C解析由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x=ab=-12.2.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)答案C解析由题意知,f(-1)f(1)0,即(1-a)(1+a)0,解得a-1或a1.3.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)0.A,B中不存在f(x)0,D中函数不连续.故选C.4.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,f(0.5)0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A.(0,0.5),f(0.125)B.(0.5,1),f(0.875)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25)答案D解析∵f(x)=x5+8x3-1,f(0)0,f(0.5)0,∴f(0)·f(0.5)0,∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25),故选D.5.二次函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有答案C解析∵f(1)0,f(2)0,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又∵函数为二次函数,∴有且只有一个零点.6.函数f(x)=3x+x2-2的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析函数f(x)=3x+x2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x2的图象的交点个数,由图象易知交点个数为2,则f(x)=3x+x2-2的零点个数为2,故选C.7.已知自变量和函数值的对应值如下表:x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y=x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…则方程2x=x2的一个根位于区间()A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案C解析令f(x)=2x,g(x)=x2,因为f(1.8)=3.482,g(1.8)=3.24,f(2.2)=4.595,g(2.2)=4.84.令h(x)=2x-x2,则h(1.8)0,h(2.2)0.故选C.8.函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的一个区间为()A.(-1,0)B.0,12C.12,1D.1,32答案C解析∵f12=e12-20,f(1)=e-10,∴零点在12,1上,故选C.9.设函数f(x)=x3-3x,若函数g(x)=f(x)+f(t-x)有零点,则实数t的取值范围是()A.(-23,23)B.(-3,3)C.[-23,23]D.[-3,3]答案C解析由题意,g(x)=x3-3x+(t-x)3-3(t-x)=3tx2-3t2x+t3-3t,当t=0时,显然g(x)=0恒成立;当t≠0时,只需Δ=(-3t2)2-4×3t×(t3-3t)≥0,化简得t2≤12,即-23≤t≤23,t≠0.综上可知,实数t的取值范围是[-23,23].10.若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内答案A解析易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又abc,则f(a)0,f(b)0,f(c)0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.11.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是________.答案(-2,1)解析函数f(x)的大致图象如图所示,则f(1)0,即1+(a2-1)+a-20,得-2a1.故实数a的取值范围是(-2,1).12.函数f(x)=|x2+2x-1|,x≤0,2x-1+a,x0有两个不同的零点,则实数a的取值范围为________.答案-∞,-12解析由于当x≤0时,f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x=-2a,结合图形只需-2a1⇒a-12即可.二、高考小题13.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C解析画出函数f(x)的图象,再画出直线y=-x并上下移动,可以发现当直线y=-x过点A时,直线y=-x与函数f(x)的图象有两个交点,并且向下无限移动,都可以保证直线y=-x与函数f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1,故选C.14.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C解析解法一:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a()et+e-t-1.∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,∴2a-1=0,解得a=12.故选C.解法二:f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.ex-1+e-x+1≥2ex-1·e-x+1=2,当且仅当x=1时取“=”.-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.若a>0,则a(ex-1+e-x+1)≥2a,要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=12.若a≤0,则f(x)的零点不唯一.故选C.15.(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案B解析在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m2x-1m2与g(x)=x+m的大致图象.分两种情形:(1)当0<m≤1时,1m≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;(2)当m>1时,0<1m<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.16.(2016·天津高考)已知函数f(x)=x2+4a-3x+3a,x0,logax+1+1,x≥0(a0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.0,23B.23,34C.13,23∪34D.13,23∪34答案C解析要使函数f(x)在R上单调递减,只需3-4a2≥0,0a1,3a≥1,解得13≤a≤34,因为方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,所以直线y=2-x与函数y=|f(x)|的图象有两个交点,如图所示.易知y=|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1a-1,又13≤1a-1≤2,故由图可知,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在x0时有一个交点;当直线y=2-x与y=x2+(4a-3)x+3a(x0)的图象相切时,设切点为(x0,y0),则2-x0=x20+4a-3x0+3a,-1=2x0+4a-3,整理可得4a2-7a+3=0,解得a=1(舍)或a=34.而当3a≤2,即a≤23时,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点,综合可得a∈13,23∪34.17.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]的零点个数为________.答案3解析∵0≤x≤π,∴π6≤3x+π6≤19π6.由题可知,当3x+π6=π2,3x+π6=3π2,或3x+π6=5π2时,f(x)=0.解得x=π9,4π9,或7π9.故函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]上有3个零点.18.(2018·天津高考)已知a0,函数f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是________.答案(4,8)解析设g(x)=f(x)-ax=x2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x0,方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:则Δ1=a2-4a0,Δ2=a2-8a0,∴4a8.情况二:则Δ1=a2-4a0,Δ2=a2-8a0,不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).19.(2018·浙江高考)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,xλ.当λ=2时,不等式f(x)0的解集是________;若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.答案(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析当λ=2时,不等式f(x)0等价于x≥2,x-40或x2,x2-4x+30,即2≤x4或1x2,故不等式f(x)0的解集为(1,4).易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图,要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).三、模拟小题20.(2018·河南濮阳一模)函数f(x)=ln2x-1的零点所在区间为()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)答案D解析由f(x)=ln2x-1,得函数是增函数,并且是连续函数,f(1)=ln2-10,f(2)=ln4-10,根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.21.(2018·安徽安庆二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=x2+2,x∈[0,1,2-x2,x∈[-1,0,且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的零点个数为()A.3B
本文标题:2020高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试12 函数与方程 文(含解析)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8064356 .html