（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点06 函数的奇偶性与周期性必刷题（含解析）

考点06函数的奇偶性与周期性1．已知()fx是定义在R上的奇函数，(1)0f，且对任意0x都有成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】等价于0()0xfx，令，则，当0x时，有'0gx，故gx为0,上的增函数，而10g，故当0x时，0gx的解为1,，故当0x时，0fx的解为1,，因，故gx为偶函数，当0x时，0fx等价于0gx，因gx为偶函数，故当0x时，0gx的解为1,0即当0x时，0fx的解为1,0，综上，的解集是，填.2．已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为3．已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以等价于又在[0，)上为增函数，且，，所以.即：，解得：，即或所以的解集为4．已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】为上的奇函数又本题正确结果：5．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：6．已知函数，且，则______【答案】-5【解析】设，则为奇函数，且．∵，∴．∴．故答案为．7．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a的值为_____．【答案】2【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，，又因为，所以，，即，即，所以，，解得：.故答案为：2.8．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】解：因为＝为偶函数，所以，，，又因为在上是减函数，所以，，由二次函数图象可知：的解集为，的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，所以，的解集为故答案为：9．奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且又由是R上的增函数，若，则有，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为．10．若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．11．已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.＝，所以，即：，所以，k＝±1，当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1，不等式即为：＜1＝所以，0＜＜2，由＞0，得：x＜－1或x＞1，由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）12．已知函数，则不等式的解集为________.【答案】【解析】,∴函数在R上位增函数，∵，∴函数为奇函数，由可得又函数在R上为增函数，∴，∴不等式的解集为故答案为：13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f(a)＜4＋f(－a)，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵f(x)为奇函数，∴∴f(a)＜4＋f(－a)可转化为f(a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：14．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．【答案】【解析】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：，故答案为：（0，]15．已知函数()fx的周期为4，且当(0,4]x时，，则的值为______.【答案】0【解析】∵函数fx的周期为4，且当0,4x时，∴∴故答案为：016．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.17．函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此18．若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】【解析】f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且，可得f（0）=f（3），即有a=﹣18+18=0，则f（a+1）=f（1）=1+1=2，故答案为：219．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________【答案】132【解析】由f(x)⋅f(x+2)=13得,f(x+2)f(x+4)=13，即f(x)=f(x+4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数。所以f(99)=f(25×4−1)=f(−1).由f(−1)⋅f(1)=13,f(1)=2,得f(−1)=132，所以f(99)=132，故答案为：132.20．若fx是周期为2的奇函数，当0,1x时，，则10f_____.【答案】24【解析】∵fx是周期为2的奇函数，当0,1x时，，∴故答案为：2421．已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是________.【答案】9【解析】∴函数fx（）为周期为2的周期函数．11x，时，2fxx（），∴函数fx（）的图象和ylgx的图象如图：由图数形结合可得函数yfx（）与函数ylgx的图象的交点个数为9．．故答案为9．22．设fx是定义在R上且周期为4的函数，在区间2,2上，其函数解析式是，其中aR.若，则2fa的值是__________．【答案】1【解析】∵fx是周期为4的函数，，∴，∴10a，∴1a．∴，∴．答案：123．已知奇函数fx满足当0,1x时2xfx,则4.5f的值为___________【答案】2【解析】是周期为4的函数，又fx是奇函数，故答案为-224．定义在上的函数满足:,当时，,则=________．【答案】【解析】，将代换为，则有为周期函数，周期为，，，令，则，当时，，，故答案为.25．记x为不超过x的最大整数，则函数yxx的最小正周期为__________．【答案】1【解析】所以最小正周期为126．若数列na和nb的项数均为m，则将数列na和nb的距离定义为1miiiab.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.（2）记A为满足递推关系的所有数列na的集合，数列nb和nc为A中的两个元素，且项数均为m.若12b，13c，数列nb和nc的距离小于2016，求m的最大值.（3）记S是所有7项数列na（其中17n，0na或1）的集合，TS，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.【答案】（1）7;（2）3455;（3）见解析.【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列na是以4为周期的数列，由此可确定数列,nnbc亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数m越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.试题解析：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.（2）设1ap，其中0p且1p.由，得211pap，31ap，411pap，5ap，….所以15aa，26aa，….因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4.所以数列nb中，32ab，23ab，112ab，13ab*kN，数列nc中，33ac，22ac，113ac，12ac*kN.因为，所以项数m越大，数列nb和nc的距离越大.因为，而，因此，当3456m时，.故m的最大值为3455.（3）假设T中的元素个数大于或等于17.因为数列na中，0na或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a，2a，3a）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a，2a，3a.设这3个元素分别为nc：1c，2c，3c，4c，5c，6c，7c；nd：1d，2d，3d，4d，5d，6d，7d；nf：1f，2f，3f，4f，5f，6f，7f，其中111cdf，222cdf，333cdf.因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在nc与nd中，iicd至少有3个成立.不妨设44cd，55cd，66cd.由题意得4c，4d中一个等于0，另一个等于1.又因为40f或1，所以44fc和44fd中必有一个成立.同理得：55fc和55fd中必有一个成立，66fc和66fd中必有一个成立，所以“iifc4,5,6i中至少有两个成立”和“iifd4,5,6i中至少有两个成立”中必有一个成立.故和中必有一个成立，这与题意矛盾.所以T中的元素个数小于或等于16.