（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必刷题（含解析

考点03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、已知命题“∃x∈[1，2]，x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x∈[1，2]，x2＋2x＋a0.因为y＝x2＋2x在区间[1，2]上单调递增，所以x2＋2x≤8－a，所以a－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a的取值范围是a－8的补集，即a≥－8，故a的取值范围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】[－22，22]【解析】因为“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p：∀x∈R，x2+1＞m，解得：m＜1；命题q：指数函数f（x）=（3-m）x是增函数，则3-m＞1，解得：m＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p，q一真一假，p真q假时：无解，p假q真时：，解得：1≤m＜2，故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若集合A＝{x|x0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁RB)＝A；③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π2(k∈Z)；④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a－b的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁RB＝(－1，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝A；命题③真，若φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则f(x)＝sin(ωx＋kπ＋π2)＝±cosωx为偶数；命题④假，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以由三角形法则可得|a|，|b|的夹角为60°，b与(a－b)的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p：∃x∈[0，π2]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，π2]上恒成立，即cos2x＋cosx＝m.令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋14)2－98，由于x∈[0，π2]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．6、已知命题p1：存在x0∈R，使得x20＋x0＋10成立；p2：对任意x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题：①(綈p1)∧(綈p2)；②p1∨(綈p2)；③(綈p1)∧p2；④p1∧p2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】∵方程x20＋x0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－30，∴x20＋x0＋10无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．7、设命题p：函数f(x)＝a－32x是R上的减函数；命题q：函数g(x)＝x2－4x＋3在区间[0，a]上的值域为[－1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】32，2∪52，4【解析】因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q中有且仅有一个命题为真命题．若命题p为真，则0a－321，所以32a52；若命题q为真，则g(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1，3]，故a≥2，a2－4a＋3≤3，解得2≤a≤4.①若p真q假，则32a52，a2或a4，所以32a2；②若p假q真，则2≤a≤4，a≤32或a≥52，所以52≤a≤4.综上所述，实数a的取值范围为32，2∪52，4.8、已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.【答案】①④【解析】∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．9、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R，x20－4＝0；(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.【解析】它们的否定及其真假分别为：(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．(2)∃T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sinx(假命题)．(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．(4)a，b是异面直线，∀A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．10、命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【答案】1≤a2，或a≤－2.【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－160，∴－2a2.又因为函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，所以3－2a1，∴a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，则－2a2，a≥1，∴1≤a2；(2)若p假q真，则a≤－2或a≥2，a1，∴a≤－2.综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a2，或a≤－2.11、已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2a|1的解集为R，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．【答案】0a≤12或a≥1【解析】由函数y＝ax在R上单调递减知0a1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1，令y＝x＋|x－2a|，则y＝2x－2ax≥2a，2ax2a不等式x＋|x－2a|1的解集为R，只要ymin1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a1，即a12.即q真⇔a12.若p真q假，则0a≤12；若p假q真，则a≥1，所以命题p和q有且只有一个命题为真命题时a的取值范围是0a≤12或a≥1.12、已知m∈R，设命题p：∀x∈[－1，1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0恒成立；命题q：∃x∈[1，2]，log12(x2－mx＋1)－1成立，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】{m|m12或m＝32}【解析】若p为真，则∀x∈[－1,1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立．设f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，所以f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m2－8m≤－3，解得12≤m≤32，所以当p为真时，12≤m≤32；若q为真，则∃x∈[1，2],x2－mx＋12成立，所以∃x∈[1，2]，mx2－1x成立．设g(x)＝x2－1x＝x－1x，易知g(x)在区间[1，2]上是增函数，所以g(x)的最大值为g(2)＝32，所以m32，所以当q为真时，m32.因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以p与q必是一真一假，当p真q假时，12≤m≤32，m≥32，所以m＝32；当p假q真时，m12或m32，m32，所以m12.综上所述，m的取值范围是{m|m12或m＝32}.13、已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．∴￢q：a∈（﹣∞，2]．∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，∴解得1＜a≤2．则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14、已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】(0，1]∪[4，＋∞).【解析】因为函数y＝ax在R上单调递增，所以命题p：a1.因为不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，所以a0且a2－4a0，解得0a4，所以命题q：0a4.因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以p，q中必是一真一假．若p真q假，则a1，a≥4，解得a≥4；若p假q真，则0a≤1，0a4，解得0a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).15、命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【答案】1≤a2，或a≤－2【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－160，∴－2a2.又因为函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，所以3－2a1，∴a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，则－2a2，a≥1，∴1≤a2；(2)若p假q真，则a≤－2或a≥2，a1，∴a≤－2.综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a2，或a≤－2.16、已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2a|1的解集为R，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．【答案】0a≤12或a≥1【解析】由函数y＝ax在R上单调递减知0a1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1，令y＝x＋|x－2a|，则y＝2x－2ax≥2a，2ax2a不等式x＋|x－2a|1的解集为R，只要ymin1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a1，即a12.即q真⇔a12.若p真q假，则0a≤12；若p假q真，则a≥1，所以命题p和q有且只有一个命题为真命题时a的取值范围是0a≤12或a≥1.17、已知命题p：∃x∈R，|sinx|a有解；命题q：∀x∈R，ax2＋2ax＋40恒成立．若命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，0)∪[1，4)【解析】命题p：∃x∈R，|sinx|a有解，则a1；由命题q得，a＝0或a0，Δ0，解得0a4，所以命题q：0≤a4.因为命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，所以命题p，q中有且仅有一个真命题．若p真q假，则a1，a≥4或a0，解得a0；若p假q真，则a≥1，0≤a4，解得1≤a4.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．18、设：实数x满足，：实数x满足.（1）若，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由得，当时,，即为真时，.由,得,得，即q为真时，