（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（七）平面向量

专项强化练(七)平面向量A组——题型分类练题型一平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA―→＋2OC―→＝3OB―→，则|BC―→||AB―→|的值为________．解析：由OA―→＋2OC―→＝3OB―→，得OA―→－OB―→＝2OB―→－2OC―→，即BA―→＝2CB―→，所以|BC―→||AB―→|＝12.答案：122．在▱ABCD中，AB―→＝a，AD―→＝b，AN―→＝3NC―→，M为BC的中点，则MN―→＝____________(用a，b表示)．解析：由AN―→＝3NC―→得AN―→＝34AC―→＝34(a＋b)，AM―→＝a＋12b，所以MN―→＝AN―→－AM―→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b3．已知Rt△ABC的面积为2，∠C＝90°，点P是Rt△ABC所在平面内的一点，满足CP―→＝4CB―→|CB―→|＋9CA―→|CA―→|，则PA―→·PB―→的最大值是________．解析：由条件可知|CA―→|·|CB―→|＝4，CA―→·CB―→＝0，因为PA―→＝CA―→－CP―→＝CA―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|，PB―→＝CB―→－CP―→＝CB―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|，故PA―→·PB―→＝CA―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|·CB―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|＝97－9|CA―→|－4|CB―→|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA―→|＝4|CB―→|，即|CA―→|＝43，|CB―→|＝3时等号成立．答案：73[临门一脚]1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先．4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．5．已知OA―→＝λOB―→＋μOC―→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.题型二平面向量的坐标表示1．(2019·锡山中学模拟)已知向量a，b满足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，则a2＋b2＝________.解析：a＋2b＝－3，，2a－b＝，－，得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋(－2)2＋22＝9.答案：92．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，所以8－4x＝3＋6x，所以x＝12.答案：123．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________.解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．①对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.②联立①②，解得m＝－79，n＝－73.故c＝－79，－73.答案：－79，－73[临门一脚]1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.题型三平面向量的数量积1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－17.答案：－172．已知向量AB―→与AC―→的夹角为120°，且|AB―→|＝2，|AC―→|＝3.若AP―→＝λAB―→＋AC―→，且AP―→⊥BC―→，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB―→·AC―→＝－3，由AP―→·BC―→＝(λAB―→＋AC―→)·(AC―→－AB―→)＝0，得λAB―→·AC―→－λAB―→2＋AC―→2－AC―→·AB―→＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝127.答案：1273．(2019·丹阳中学月考)在直角坐标系中，已知三点A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O为坐标原点．若向量OA―→与OC―→在向量OB―→方向上的投影相等，且AB―→·OC―→＝－10，则a－b＝________.解析：因为向量OA―→与OC―→在向量OB―→方向上的投影相等，所以OA―→·OB―→＝OB―→·OC―→，3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，①又AB―→＝(3－a，b－1)，OC―→＝(4,5)，所以AB―→·OC―→＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，②②－①得a－b＝5.答案：54．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|DP―→|＝|BQ―→|，则PA―→·PQ―→的最小值为________．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵|DP―→|＝|BQ―→|，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵PA―→＝(－x，－1)，PQ―→＝(2－x，y－1)，∴PA―→·PQ―→＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝x－122＋34，∴当x＝12时，PA―→·PQ―→取得最小值，为34.答案：345．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝1t，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若AP―→＝4AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|，则△PBC面积的最小值为________．解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B1t，0，C(0，t)，因为AP―→＝4AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|，所以点P坐标为(4,1)，直线BC的方程为t2x＋y－t＝0，所以点P到直线BC的距离为d＝|4t2＋1－t|t4＋1，BC＝t4＋1t，所以△PBC的面积为12×|4t2＋1－t|t4＋1×t4＋1t＝124t＋1t－1≥32，当且仅当t＝12时取等号．答案：32[临门一脚]1．若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.2．两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b0(a·b0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，是求模常用的公式．4．数量积的运算中，a·b＝0⇔a⊥b，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．B组——高考提速练1．(2019·盐城中学模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，则a在b方向上的投影是________．解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因为a∥(2a－b)，所以1×(4－m)－2×5＝0，所以m＝－6，所以b＝(－3，－6)，所以a在b方向上的投影是a·b|b|＝－＋－9＋36＝－5.答案：－52.如图，已知AB―→＝a，AC―→＝b，BD―→＝3DC―→，用a，b表示AD―→，则AD―→＝________.解析：因为CB―→＝AB―→－AC―→＝a－b，又BD―→＝3DC―→，所以CD―→＝14CB―→＝14(a－b)，所以AD―→＝AC―→＋CD―→＝b＋14(a－b)＝14a＋34b.答案：14a＋34b3．(2019·白蒲中学模拟)在平行四边形ABCD中，若AB―→＝xAC―→＋yAD―→，则x－y＝________.解析：在平行四边形ABCD中AC―→＝AB―→＋BC―→＝AB―→＋AD―→，所以AB―→＝AC―→－AD―→，所以x＝1，y＝－1，则x－y＝2.答案：24．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2－k2|b|2＝0.又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝916，即k＝±34.答案：±345．(2019·启东中学模拟)已知|OA―→|＝6，|OB―→|＝23，∠AOB＝30°，若t∈R，则|OA―→＋tAB―→|的最小值为______.解析：|OA―→＋tAB―→|＝|OA―→＋t(OB―→－OA―→)|＝|(1－t)OA―→＋tOB―→|，则|OA―→＋tAB―→|2＝(1－t)2OA―→2＋t2OB―→2＋2(1－t)tOA―→·OB―→＝36(1－t)2＋12t2＋2t(1－t)×6×23×32＝12(t2－3t＋3)，当t＝32时，|OA―→＋tAB―→|取得最小值3.答案：36.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，DC―→＝2BD―→，则AD―→·BC―→的值为________．解析：由DC―→＝2BD―→，得AD―→＝13(AC―→＋2AB―→)．又BC―→＝AC―→－AB―→，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，所以AD―→·BC―→＝13(AC―→＋2AB―→)·(AC―→－AB―→)＝13×(－9＋3)＝－2.答案：－27．(2019·扬州中学模拟)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若AC―→＝2CE―→，则BA―→·BE―→＝________.解析：如图，BA―→·BE―→＝BA―→·(BA―→＋AE―→)＝BA―→2＋32BA―→·AC―→＝22＋32|BA―→|·|AC―→|cos135°＝4＋32×2×22×－22＝－2.答案：－28．将向量OA―→＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB―→，则OB―→＝____________.解析：法一：OA―→＝(1,1)，设OB―→＝(x，y)，则|OB―→|＝|OA―→|＝12＋12＝2，OA―→·OB―→＝|OA―→||OB―→|×cos60°＝1，又由向量的坐标运算可知OA―→·OB―→＝x＋y＝1，①|OA―→|＝|OB―→|＝x2＋y2＝2，化简得x2＋y2＝2，②因为点B在第二象限，故x0，所以解得x＝1－32，y＝1＋32，故OB―→＝1－32，1＋32.法二：因为|OB―→|＝|OA―→|＝12＋12＝2，直线OB的倾斜角为60°＋45°＝105°，故点B的横坐标xB＝|OB―→|·cos(60°＋45°)＝2×2－64＝1－32，纵坐标yB＝|OB―→|·sin(60°＋45°)＝2×2＋64＝1＋32，故OB―→＝1－32，1＋32.答案：1－32，1＋329．若向量a＝(cos15°，sin15°)，b＝(cos75°，sin75°)，则a＋b与a的夹角为________．解析：a＋b＝(cos15°＋cos75°，sin15°＋sin75°)＝(cos15°＋sin15°，sin15°＋cos15°)，则(a＋b)·a＝cos15°(cos15°＋sin15°)＋sin15°(cos15°＋sin15°)＝1＋2cos15°·sin15°＝1＋sin30°＝32，|a＋b|＝＋2＋＋2＝＋2＝＋＝3，