（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第5讲 导数

第5讲导数及其应用[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．导数的几何意义第11题导数在江苏高考中主要考查：一是导数的运算法则和导数的几何意义，是中档题；二是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，一般在压轴题位置；三是应用导数解决实际问题，试题难度中等．2．利用导数研究函数的性质第11题第11题3．导数的实际运用第17题4．导数的综合运用第19题第19题第20题1．必记的概念与定理(1)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数的单调性函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0．f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．(3)函数的极值①函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(4)函数的最值①在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，要注意端点值与极值比较．②若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．2．记住几个常用的公式与结论四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sinx)′＝cosx．(2)(cosx)′＝－sinx．(3)(ax)′＝axlna(a0，且a≠1)．(4)(logax)′＝1xlna(a0，且a≠1)．(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(6)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．3．需要关注的易错易混点(1)导数与函数单调性的关系①f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0．②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．(2)函数的极值与最值①函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．②函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．③闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．导数的几何意义[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．(2)(2019·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)＝2sinx，g(x)＝acosx，x∈0，π2相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．【解析】(1)设A(x0，lnx0)，又y′＝1x，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－lnx0＝1x0(－e－x0)，化简得lnx0＝ex0，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．(2)设点P的横坐标为x0，则2sinx0＝acosx0，(2cosx0)(－asinx0)＝－1，所以4sin2x0＝1．因为x0∈0，π2，所以sinx0＝12，cosx0＝32，所以a＝233．【答案】(1)1(2)233导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝f（x1）－f（x0）x1－x0求解．[对点训练]1．(2019·江苏省四星级学校联考)已知函数f(x)＝ex＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则x0＝________．[解析]由题意知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)为奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，故f′(x)＝ex－e－x．因为曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，所以f′(x0)＝ex0－e－x0＝22，解得ex0＝2，所以x0＝ln2＝ln22．[答案]ln222．直线l与曲线y＝ex及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________．[解析]设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为x1，－x214，因为y＝ex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，y＝－x24在点x1，－x214处的切线的斜率为y′|x＝x1＝－x2x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝ex0x－x0ex0＋ex0或y＝－12x1x＋14x21，所以ex0＝－x12，－x0ex0＋ex0＝x214，所以ex0＝1－x0，解得x0＝0．所以直线l的方程为y＝x＋1．[答案]y＝x＋1利用导数研究函数的性质[典型例题](2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数h(x)＝bxlnx的图象经过点(e，2e)，函数f(x)＝x－a＋h（x）x(a，b∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f(x2)＜x2－1．【解】(1)因为函数h(x)＝bxlnx的图象经过点(e，2e)，所以b＝2，所以函数h(x)＝2xlnx，故函数f(x)＝x－ax－2lnx，f′(x)＝1＋ax2－2x＝x2－2x＋ax2，令f′(x)＝0，得x2－2x＋a＝0，其判别式Δ＝4－4a，①当Δ≤0，即a≥1时，x2－2x＋a≥0，f′(x)≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＞0，即a＜1时，方程x2－2x＋a＝0的两根为x1＝1－1－a，x2＝1＋1－a＞1，若a≤0，则x1≤0，则当x∈(0，x2)时，f′(x)＜0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，则x1＞0，则当x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，函数f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；当a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x2－2x＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，故0＜a＜1．由(1)得当0＜a＜1时，x2＝1＋1－a，则1＜x2＜2，a＝－x22＋2x2．f(x2)－x2＋1＝x2－－x22＋2x2x2－2lnx2－x2＋1＝x2－2lnx2－1．令g(t)＝t－2lnt－1，则g′(t)＝1－2t＝t－2t，当1＜t＜2时，g′(t)＜0，故g(t)在(1，2)上单调递减．故g(t)＜g(1)＝1－2ln1－1＝0．所以f(x2)－x2＋1＝g(x2)＜0，即f(x2)＜x2－1．利用导数研究函数性质的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0．②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．[对点训练]3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx(x0)，所以f′(x)＝2x－3＋1x＝2x2－3x＋1x，所以f(1)＝－2，f′(1)＝0．所以切线方程为y＝－2．(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域为(0，＋∞)，当a0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1x＝2ax2－（a＋2）x＋1x＝（2x－1）（ax－1）x，令f′(x)＝0，解得x＝12或x＝1a．①当01a≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增．所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝－2，符合题意；②当11ae，即1ea1时，f(x)在1，1a上单调递减，在1a，e上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值为f1af(1)＝－2，不合题意；③当1a≥e，即0a≤1e时，f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)f(1)＝－2，不合题意．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．导数的实际运用[典型例题](2019·江苏省高考名校联考)某制药厂生产一种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为6元，推销费用为t(1≤t≤3)元，预计当每包药品的售价为x元时，一年的市场销售量为(20－x)2万包，若从民生角度考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的250%，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的200%．(1)写出该种药品一年的利润W(万元)与每包药品的售价x的函数关系式W(x)；(2)当每包药品的售价为多少元时，一年的利润W最大，并求出W的最大值．【解】(1)W(x)＝(x－6－t)(20－x)2，x∈[12，15]．(2)由(1)得W′(x)＝(20－x)(32＋2t－3x)，令W′(x)＝0得x＝20或x＝32＋2t3，又1≤t≤3，所以343≤32＋2t3≤383，故当x≤32＋2t3时，W′(x)≥0，W(x)单调递增；当32＋2t3＜x＜20时，W′(x)＜0，W(x)单调递减；当x≥20时，W′(x)≥0，W(x)单调递增．又x∈[12，15]，所以当32＋2t3≤12，即1≤t≤2时，W(x)在[12，15]上单调递减，所以当x＝12时，W(x)取得最大值384－64t；当32＋2t3＞12，即2＜t≤3时，又x∈[12，15]，所以当x＝32＋2t3时，W(x)取得最大值427(14－t)3．综