（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质学案

第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．椭圆的标准方程与几何性质第17题第18题江苏高考对本讲考查重点是圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，一般属于中档题．2．双曲线、抛物线的标准方程与几何性质第7题第8题第8题1．必记的概念与定理(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线．这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的曲线，因而才称之为圆锥曲线．(2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线．(3)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M”“焦点F”“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义．2．记住几个常用的公式与结论(1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，AB0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0时表示双曲线．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．(3)设直线l(斜率存在)与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝1＋k2|x1－x2|或1＋1k2·|y1－y2|．(4)通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短．(5)椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．3．需要关注的易错易混点(1)已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．(2)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．(3)已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝ba(m＞0)或m＝ab，故离心率有两种可能．椭圆的标准方程与几何性质[典型例题](1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．(2)(2019·江苏名校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________．【解析】(1)由题意得B－32a，b2，C32a，b2，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得BF→·CF→＝c＋32a，－b2·c－32a，－b2＝c2－34a2＋14b2＝0，化简得3c＝2a，则离心率e＝ca＝23＝63．(2)法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋a(k0)，与椭圆方程联立，y＝kx＋ax2a2＋y2b2＝1，得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝ca，从而y＝cax＋a交x轴于A(－a2c，0)，又F(c，0)，易知BA→·BF→＝0，故∠ABF＝90°．法二：由椭圆性质可知，过B且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为y＝ex＋a(e为椭圆的离心率)，即切线斜率为e，所以tan∠BAF＝ca＝e，又tan∠OBF＝ca＝e，则∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°．【答案】(1)63(2)90°(1)解决椭圆方程和几何性质问题，要牢牢抓住相关定义，一些看起来很复杂，没有头绪的问题，如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解．(2)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[对点训练]1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆C的方程为________．[解析]因为x2＋y2－2x－15＝0，所以(x－1)2＋y2＝16，所以r＝4，即2a＝4，a＝2．又ca＝32，所以c＝3，所以b＝1，故椭圆方程为x24＋y2＝1．[答案]x24＋y2＝12．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设A，B，C是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的三个不同的点，若四边形OABC(其中O为坐标原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为________．[解析]设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，因为四边形OABC为矩形，所以点B(x1＋x2，y1＋y2)，则问题转化为方程组x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，（x1＋x2）2a2＋（y1＋y2）2b2＝1，x1x2＋y1y2＝0存在实数解的问题．展开第三个方程，整理得x1x2＝a2b22（a2－b2）．易知直线OA和OC的斜率均存在，分别设为k，－1k，由y＝kx，x2a2＋y2b2＝1，得x21＝a2b2a2k2＋b2，同理x22＝a2b2k2a2＋k2b2，因此a2b2a2k2＋b2·a2b2k2a2＋k2b2＝a2b22（a2－b2）2，即关于k2的二次方程(k2)2－3a2b2＋b2a2－8·k2＋1＝0有正解，即3a2b2＋b2a2－82－4≥0，且3a2b2＋b2a2－80，又ab，所以a2≥3b2，所以63≤e1，故椭圆的离心率的最小值为63，此时矩形OABC为正方形．[答案]63双曲线、抛物线的标准方程与几何性质[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．(2)(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN＝________．【解析】(1)因为双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1，得b＝2，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±2x．(2)设直线FA的倾斜角为α，因为焦点F(0，1)，定点A(22，0)，所以tanα＝1－22＝－24，sinα＝13，如图，作MB⊥l，垂足为点B，由抛物线的定义可得：FM＝MB，所以FMMN＝sin(π－α)＝sinα＝13．【答案】(1)y＝±2x(2)13灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便．特别是抛物线的定义在解题中的作用巨大．[对点训练]3．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________．[解析]不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，所以|bc|a2＋b2＝b＝32c，所以b2＝c2－a2＝34c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2．[答案]24．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AM→＝MB→，则p＝________．[解析]过B作BE垂直准线l于E(图略)，因为AM→＝MB→，所以M为中点，所以MB＝12AB，又斜率为3，∠BAE＝30°，所以BE＝12AB，所以BM＝BE，所以M为抛物线的焦点，所以p＝2．[答案]21．(2019·南京模拟)椭圆x225＋y29＝1的离心率是________．[解析]由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝45．[答案]452．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．[解析]因为方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，m＋120m2＋m0，解得－1m0；当焦点在y轴上时，m＋120m2＋m0，解得m－1．所以实数m的取值范围是m－1或－1m0．[答案](－∞，－1)∪(－1，0)3．(2019·南京、盐城模拟)若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________．[解析]双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为()2a，0，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，从而2a＝1，故a＝22．[答案]224．(2019·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，以直线y＝±2x为渐近线，且经过抛物线y2＝4x焦点的双曲线的方程是________．[解析]因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．又双曲线的渐近线为y＝±2x，故ba＝2．即所求双曲线的标准方程为x2－y24＝1．[答案]x2－y24＝15．(2019·镇江期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是________．[解析]不妨设焦点为(c，0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，故14(2c)＝bca2＋b2＝bcc＝b，即c＝2b，从而a＝c2－b2＝4b2－b2＝3b，故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±33x．[答案]y＝±33x6．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，若C是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC＝OF，AB∥OC，则该椭圆的离心率为________．[解析]设点C(x0，y0)，则x20＋y20＝c2y0x0＝ba，解得x0＝aca2＋b2y0＝bca2＋b2，代入椭圆方程得a2c2a2＋b2a2＋b2c2a2＋b2b2＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2，所以e2＝23，又0＜e＜1，故e＝63．[答案]637．(2019·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为ab4，则该双曲线的离心率为______．[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax，右准线方程为x＝a2c，联立可求得两交点的纵坐标为±abc，所以△AOB的面积S＝12×2abc×a2c＝ab4，得c2a2＝4，e＝ca＝2．[答案]28．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF1→·PF2→的最小值的取值范围是________．[解析]设P(m，n)，则m2a2－n2b2＝1，即m2＝a21＋n2b2．又F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1→＝(－1－m，－n)，PF2→＝(1－m，－n)，PF1→