（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆学案 文 苏教版

第1讲直线与圆[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．直线方程与两直线的位置关系第12题本讲命题热点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、圆的方程、直线与圆的位置关系(特别是弦长、切线问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，多考查其几何图形的性质或方程知识．2．圆的方程3．直线与圆的位置关系第13题1．必记的概念与定理(1)直线方程的五种形式①点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．②斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．③两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．④截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．(2)圆的方程的两种形式①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．2．记住几个常用的公式与结论(1)点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2．(2)两条平行线间的距离公式两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2．(3)若直线l1和l2有斜截式方程l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1．(4)设l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0．则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．(5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：①B＝0；②A＝C≠0；③D2＋E2－4AF＞0．(6)常用到的圆的几个性质①直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；②圆心在过切点且与切线垂直的直线上；③圆心在任一弦的中垂线上；④两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；⑤圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．3．需要关注的易错易混点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．直线方程与两直线的位置关系[典型例题](1)(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．(2)(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．【解析】(1)因为AB→·CD→＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°．设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝tanθ＋π4＝－3．又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得y＝－3（x－5），y＝2x，解得x＝3，y＝6，所以点A的横坐标为3．(2)法一：由两条直线平行得－ab＝－2b－3且a2≠－65，化简得a＝2bb－3＞0，得b＞3，故2a＋3b＝4bb－3＋3b＝4（b－3）＋12b－3＋3(b－3)＋9＝13＋12b－3＋3(b－3)≥13＋236＝25，当且仅当12b－3＝3(b－3)，即b＝5或b＝1(舍去)时等号成立，故(2a＋3b)min＝25．法二：由两条直线平行得－ab＝－2b－3且a2≠－65，化简得2a＋3b＝1，故2a＋3b＝2a＋3b(2a＋3b)＝13＋6ba＋6ab≥13＋26ba×6ab＝25，当且仅当ba＝ab且2a＋3b＝1，即a＝b＝5时等号成立，故(2a＋3b)min＝25．【答案】(1)3(2)25(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．[对点训练]1．直线4ax＋y＝1与直线(1－a)x＋y＝－1互相垂直，则a＝________．[解析]由题可得：4a(1－a)＋1＝0，即4a2－4a－1＝0，故a＝1±22．[答案]1±222．(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．[解析]由题意可得直线l1恒过定点A(0，2)，直线l2恒过定点B(2，0)，且l1⊥l2，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．圆心(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－1－4|2＝22，则点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为32．[答案]32圆的方程[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．(2)(2019·南通市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．【解析】(1)直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．(2)设BC的中点为M(x，y)，因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得x－122＋y－122＝32，所以点M的轨迹是以12，12为圆心，62为半径的圆，又A与12，12的距离为22，所以AM的取值范围是6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．【答案】(1)(x－1)2＋y2＝2(2)[6－2，6＋2]在解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程(组)，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．[对点训练]3．圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．[解析]因为圆C经过原点O(0，0)和点P(4，0)，所以线段OP的垂直平分线x＝2过圆C的圆心，设圆C的方程为(x－2)2＋(y－b)2＝r2，又圆C过点O(0，0)且与直线y＝1相切，所以b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解得b＝－32，r＝52，所以圆C的方程为(x－2)2＋y＋322＝254．[答案](x－2)2＋y＋322＝254直线与圆的位置关系[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．①设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；②设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；③设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围．【解】(1)圆心为(2，－1)，半径r＝2．圆心到直线的距离d＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r2－d2＝222－3552＝2555．故填2555．(2)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．①由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1．因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．②因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4－02－0＝2．设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m|5＝|m＋5|5．因为BC＝OA＝22＋42＝25，而MC2＝d2＋BC22，所以25＝（m＋5）25＋5，解得m＝5或m＝－15．故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．③设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2，4)，T(t，0)，TA→＋TP→＝TQ→，所以x2＝x1＋2－t，y2＝y1＋4．(ⅰ)因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25．(ⅱ)将(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25．于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221．因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221]．(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．[对点训练]4．(2019·苏州市高三调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________．[解析]当直线l的斜率不存在时，直线x＝1与圆不相切．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y－1＝k(x－1)，因为直线kx－y＋1－k＝0与圆相切，圆心的坐标为(－1，2)，半径为5，则|－k－2＋1－k|k2＋1＝5，化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2，又直线l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以－a＝－12，则a＝12．[答案]125．(2019·南通高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－3)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．[解析]因为圆(x－a)2＋(y－3)2＝3的圆心(a，3)在第一象限，且与x轴相切，故切线PT必过第一、二、三象限，由OP＝2，OT＝1得∠TPO＝30°，从而切线PT的方程为y＝33(x＋2)，线段PT＝3，圆心(a，3)到直线PT的距离为|3a＋23－33|3＋9＝|a－1|2，故RS＝23－（a－12）2，从而3＝23－（a－12）2，解得a＝4或－2(舍去)．[答案]41．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公