（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆练习 文 苏教版

第1讲直线与圆1．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．[解析]由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k＜3．[答案](－3，3)2．(2019·扬州期末)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．[解析]两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17．因为3－2＜d＜3＋2，所以两圆相交．[答案]相交3．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为________．[解析]动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0．又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，所以（4－1）2＋（0－m）2＝3，解得m＝0．所以a＋c＝2．又a0，c0，所以12a＋2c＝12(a＋c)12a＋2c＝1252＋c2a＋2ac≥1252＋2c2a·2ac＝94，当且仅当c＝2a＝43时取等号．[答案]944．已知以原点O为圆心的圆与直线l：y＝mx＋(3－4m)，(m∈R)恒有公共点，且要求使圆O的面积最小，则圆O的方程为________．[解析]因为直线l：y＝mx＋(3－4m)过定点T(4，3)，由题意，要使圆O的面积最小，则定点T(4，3)在圆上，所以圆O的方程为x2＋y2＝25．[答案]x2＋y2＝255．(2019·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．[解析]由题意可得圆N与圆M内切或内含，则|ON|≥2恒成立，即|ON|min＝|OM|－1≥2，|OM|≥3，即a2＋(a－3)2≥9，又a0，得a≥3，则a的最小值是3．[答案]36．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________．[解析]直线l被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d＝|1－m|m2＋1＝（1－m）2m2＋1＝1－2mm2＋1，当d取最大值时，m＜0，此时d＝1＋2（－m）＋1－m≤2，当且仅当－m＝1，即m＝－1时取等号，即d取得最大值，弦长最短．[答案]－17．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．[解析]因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0．用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以所求圆的方程为x2＋y2＝81．[答案]x2＋y2＝818．(2019·南京模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．[解析]令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝22，于是sin∠OPH＝|OH||OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－33．[答案]－339．(2019·南京市四校第一学期联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，mn)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为______．[解析]设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．连结MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB．因为∠APB＝60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上．连结OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，得2a2－8a＋15≥0，2a2－8a＋7≤0，解得2－22≤a≤2＋22．所以n≥2＋22，m≤2－22，所以n－m≥2．[答案]210．(2019·苏北四市高三质量检测)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA→＋PB→|的取值范围为________．[解析]取AB的中点C，则|PA→＋PB→|＝2|PC→|，C的轨迹方程是x2＋y2＝14，C1C2＝5，由题意，|PC→|的最大值为5＋1＋12＝132，最小值为5－1－12＝72，所以|PA→＋PB→|的取值范围为[7，13]．[答案][7，13]11．(2019·南通模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a．若k2＝0，则1－a＝0，a＝1．因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0．又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝43(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k2≠0．即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1．①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0．②由①②联立，解得a＝2，b＝2．(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，k1＝k2，即ab＝1－a．③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b，④联立③④，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2．所以a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2．12．(2019·江苏高考研究原创卷)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴的正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13．(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．[解](1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a0)，由题意知|3a＋7|32＋（－4）2＝Ra2＋3＝R，解得a＝1或a＝138．又圆C的面积S＝πR213，所以a＝1，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4．(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直线l与圆C相交于不同的两点，联立y＝kx＋3（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－200，解得k1－263或k1＋263，x1＋x2＝－6k－21＋k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2．在▱OADB中，OD→＝OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，MC→＝(1，－3)，假设OD∥MC，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，所以3×6k－21＋k2＝2k＋61＋k2，解得k＝34．但34∈/(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，所以不存在直线l，使得直线OD与MC恰好平行．13．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，F(0，2)，点A，B是圆O上的动点，且FA·FB＝4．(1)若FB＝1，且点B在第二象限，求直线AB的方程；(2)是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解](1)显然直线FB的斜率存在，故可设直线FB的方程为y＝kx＋2(k＞0)，联立方程得y＝kx＋2x2＋y2＝4，消去y得，(k2＋1)x2＋4kx＝0，得xB＝－4kk2＋1yB＝2－2k2k2＋1，故FB＝1＋k20－－4kk2＋1＝4|k|k2＋1＝1，得k＝1515，点B－154，74．因为FB＝1，且FA·FB＝4，所以FA＝4，又圆O的半径为2，所以A(0，－2)，故直线AB的方程为y＝－15x－2．(2)由(1)的求解方法易知，若FB＝1，且点B在第一象限，则直线AB的方程为y＝15x－2，故若存在符合题意的圆，则圆心在y轴上．设圆心坐标为(0，m)，易知当AB∥x轴时，直线AB的方程为y＝1，故|m－1|＝|m＋2|15＋1＝|m＋2|4，解得m＝25或m＝2．若直线FB，FA的斜率存在，不妨设直线FB，FA的方程分别为y＝k1x＋2，y＝k2x＋2(k1≠k2)，由(1)的求解方法易知，B－4k1k21＋1，2－2k21k21＋1，A－4k2k22＋1，2－2k22k22＋1，FB＝4|k1|k21＋1，FA＝4|k2|k22＋1．又FA·FB＝4，所以4|k1|k21＋1·4|k2|k22＋1＝4，化简得15k21k22＝k21＋k22＋1(*)．当直线AB的斜率存在且不等于0时，直线AB的方程为x－－4k1k21＋1－4k2k22＋1－－4k1k21＋1＝y－2－2k21k21＋12－2k22k22＋1－2－2k21k21＋1，化简得(k1＋k2)x＋(k1k2－1)y＋2(k1k2＋1)＝0，则点(0，2)到直线AB的距离d＝|4k1k2|（k1＋k2）2＋（k1k2－1）2＝|4k1k2|k21k22＋k21＋k22＋1，把(*)代入上式得d＝1．又|m－1|＝1＝d，故存在定圆x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．同理点0，25到直线AB的距离d＝125k1k2＋85（k1＋k2）2＋（k1k2－1）2＝125k1k2＋85|4k1k2|，显然不是定值，故不符合题意．当直线AB的斜率不存在时，易知可取A(1，3)，B(1，－3)，或A(－1，3)，B(－1，－3)，显然直线AB与圆x2＋(y－2)2＝1相切．综上所述，存在定圆：x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．14．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)[解]以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15