（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 高考热点追踪（二）练习 文 苏教

高考热点追踪（二）1．(2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝π4，cosB＝35，则c＝________．[解析]根据题意得，sinB＝45，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinπ4＋B＝7210，由asinA＝csinC，得5sinπ4＝c7210，解得c＝7．[答案]72．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α＝________．[解析]1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，所以tanα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43．[答案]－433．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2kb与3a－b平行，则k＝________．[解析]因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2kb＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2kb与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－16．[答案]－164．(2019·扬州模拟)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值为________．[解析]因为α∈0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cosα＝13，所以cos2α＝2cos2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327．[答案]23275．(2019·盐城高三模拟)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝21，则向量a，b的夹角为________．[解析]法一：设向量b＝(x，y)，则由|b|＝1，|a－b|＝21得，x2＋y2＝1（x－4）2＋（y＋3）2＝21⇒4x－3y＝52，所以a·b＝(4，－3)·(x，y)＝4x－3y＝52，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，又〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为π3．法二：由|a－b|＝21得，(a－b)2＝21⇒a2－2a·b＋b2＝21，所以a·b＝52，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，又〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为π3．[答案]π36．(2019·南京高三模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM→＝2MD→．若AC→·BM→＝－3，则AB→·AD→＝________．[解析]由题意可得AC→＝AD→＋DC→＝AD→＋12AB→，BM→＝AM→－AB→＝23AD→－AB→，则AC→·BM→＝AD→＋12AB→·23AD→－AB→＝－3，则23|AD→|2－12|AB→|2－23AB→·AD→＝－3，即6－8－23AB→·AD→＝－3，解得AB→·AD→＝32．[答案]327．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________．[解析]由所给图象知A＝1，34T＝11π12－π6＝3π4，T＝π，所以ω＝2πT＝2，由sin2×π6＋φ＝1，|φ|π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6，则f(x)＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6．[答案]y＝sin2x－π68．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP→＝AB→＋λAC→，且BP→·CP→＝1，则实数λ的值为________．[解析]由题意可得AB→·AC→＝1×2×12＝1，AB→·AP→＝AB→2＋λAB→·AC→＝1＋λ，AP→·AC→＝1＋4λ，AP2→＝AB2→＋2λAB→·AC→＋λ2AC2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP→·CP→＝1，则(AP→－AB→)·(AP→－AC→)＝AP2→－AP→·AC→－AP→·AB→＋AB→·AC→＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1．[答案]－14或19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC的面积的最大值为________．[解析]因为a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因为A∈(0，π)，故A＝π3．因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤34×4＝3，所以△ABC的面积的最大值为3．[答案]310．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(AB→－3AC→)⊥CB→，则角A的最大值为________．[解析]因为(AB→－3AC→)⊥CB→，所以(AB→－3AC→)·CB→＝0，(AB→－3AC→)·(AB→－AC→)＝0，AB→2－4AC→·AB→＋3AC→2＝0，即cosA＝|AB→|2＋3|AC→|24|AC→|·|AB→|＝|AB→|4|AC→|＋3|AC→|4|AB→|≥2316＝32，当且仅当|AB→|＝3|AC→|时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤π6，即角A的最大值为π6．[答案]π611．(2019·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求sinθ－cosθsinθ＋cosθ的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈0，π2，求sinθ＋π4的值．[解](1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝2cosθ－cosθ2cosθ＋cosθ＝13．(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)可得，|a－b|＝（cosθ－2）2＋（sinθ＋1）2＝6－4cosθ＋2sinθ＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0，①又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈0，π2，②由①②可解得sinθ＝35，cosθ＝45，所以sinθ＋π4＝22(sinθ＋cosθ)＝22×35＋45＝7210．12．(2019·盐城高三模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，a＋c＝4．(1)当a，b，c成等差数列时，求△ABC的面积；(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．[解](1)因为a，b，c成等差数列，所以b＝a＋c2＝2．由b2＝a2＋c2－2accosB，B＝60°，得b2＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac＝4，解得ac＝4，从而S△ABC＝12acsinB＝12×4×32＝3．(2)法一：因为D为AC边的中点，所以BD→＝12(BA→＋BC→)，则BD→2＝14(BA→＋BC→)2＝14(BA→2＋2BA→·BC→＋BC→2)＝14(c2＋2accosB＋a2)＝14[(a＋c)2－ac]＝4－14ac≥4－14×a＋c22＝3，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以线段BD长的最小值为3．法二：因为D为AC边的中点，所以可设AD＝CD＝d，由cos∠ADB＋cos∠CDB＝0，得BD2＋d2－c22d·BD＋BD2＋d2－a22d·BD＝0，即BD2＝a2＋c22－d2＝8－ac－d2，又b2＝a2＋c2－2accosB，B＝60°，所以b2＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，即4d2＝16－3ac，所以d2＝4－34ac，故BD2＝4－14ac≥4－14×a＋c22＝3，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以线段BD长的最小值为3．13．(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于P(x1，y1)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q(x2，y2)．记f(α)＝y1＋y2．(1)求函数f(α)的值域；(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝2，且a＝2，c＝1，求b．[解](1)由题意，得y1＝sinα，y2＝sinα＋π2＝cosα，所以f(α)＝sinα＋cosα＝2sinα＋π4，因为α∈0，π2，所以α＋π4∈π4，3π4，故f(α)∈(1，2]．(2)因为f(C)＝2sinπ4＋C＝2，又C∈(0，π)，所以C＝π4，在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即1＝2＋b2－22×22b，解得b＝1．14．(2019·江苏省四星级学校4月联考)金镶玉奖牌是中国文化与体育精神完美结合的载体．现有一矩形玉片BCEF，CE为36毫米，BC为32毫米，G为EF的中点．现要开糟镶嵌金丝，将其加工为镶金工艺品，如图，金丝部分为优弧PQ︵和线段MP，NQ，MN，其中优弧PQ︵所在圆的圆心为O，圆O与矩形的边FB，BC，CE分别相切于点A，H，D．M，N在线段EF上(M在N的左侧)，MP，NQ分别与圆O相切点P，Q，且FM＝NE．若优弧PQ︵部分镶嵌的金丝每毫米造价为3a元(a0)，线段MP，NQ，MN部分镶嵌的金丝每毫米造价为2a元．记锐角∠POG＝α，镶嵌金丝总造价为W元．(1)试表示出关于α的函数W(α)，并写出cosα的范围；(2)当M，N位于什么位置时，镶嵌金丝的总造价最低？[解](1)如图，过点P作OG的垂线，垂足为R，过点M作PR的垂线，垂足为S，由圆O与矩形的边FB，BC，CE相切，得圆O半径为16．易得PR＝16sinα，OR＝16cosα，MS＝GR＝OG－OR＝CE－CD－16cosα＝36－16－16cosα＝20－16cosα，因为MP与圆O相切，切点为P，所以OP⊥MP，易得∠MPS＝∠POG＝α，所以MP＝NQ＝MSsinα＝20－16cosαsinα，PS＝MStanα＝20－16cosαtanα，所以MG＝SR＝PR－PS＝16sinα－20－16cosαtanα＝16－20cosαsinα，MN＝2MG＝2×16－20cosαsinα＝32－40cosαsinα．因为优弧PQ︵的圆心角为(2π－2α)，所以优弧PQ︵的长为32(π－α)，所以W(α)＝32(π－α)×3a＋20－16cosαsinα×2＋32－40cosαsinα×2a＝96a(π－α)＋72－72cosαsinα×2a＝48a(2π－2α＋3－3cosαsinα)，考虑临界状态，当M，N，G三点重合时，△POG为直角三角形，其中∠GPO＝π2，OG＝20，OP＝16，cosα＝OPOG＝1620＝45，所以cosα∈0，45．(2)由(1)知，W′(α)＝48a－2＋3－3cosαsin2α＝48a·－2sin2α＋3－3cosαsin2α＝48a·－2＋2cos2α＋3－3cosαsin2α＝48a·2cos2α－3cosα＋1sin2α＝4