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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________.解析:根据全称命题的否定是存在性命题进行求解.答案:存在偶数不是2的倍数2.命题“∃x∈R,x2+x≤0”的否定是________.解析:∃x∈R,p(x)的否定是∀x∈R,¬p(x).答案:∀x∈R,x2+x03.已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________.解析:由已知条件可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得a≤-2或a≥1,所以a≤-2.答案:(-∞,-2]4.(2019·无锡期中)若命题p:4是偶数,命题q:5是8的约数.则下列命题中为真的是________.①p且q;②p或q;③非p;④非p且非q.解析:命题p为真,命题q为假,故②为真.答案:②5.已知命题p:∃x∈R,使sinx=52;命题q:∀x∈R,都有x2+x+10.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是假命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题.其中正确的序号是________.解析:命题p:∃x∈R,使sinx=52,错误,命题q:∀x∈R,都有x2+x+10,正确.故②③正确,答案:②③6.(2019·连云港模拟)设命题p:函数y=2sinx+π2是奇函数;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=π2对称.则p∧q是________命题.(填真或假)解析:因为y=2sinx+π2=2cosx是偶函数,所以命题p是假命题,由余弦函数的性质可知命题q是假命题.故p∧q是假命题.答案:假7.以下有关命题的说法错误的序号是________.①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件;②若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;③对于命题p:∃x∈R使得x2+x+10,则¬p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0.解析:对于①,当x=1时x2-3x+2=0,但x2-3x+2=0时,x=1或x=2,所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件;对于②,若p∧q为假命题,则p,q至少一个为假命题,并非均为假命题;对于③,含量词命题的否定,先把存在量词改为全称量词,再否定结论,故③正确.答案:②8.(2019·江苏省四校联考)已知命题“∀x∈R,x2-5x+152a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________.解析:由“∀x∈R,x2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+152a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+152a,则其图象恒在x轴的上方.故Δ=25-4×152a<0,解得a>56,即实数a的取值范围为56,+∞.答案:56,+∞9.若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.解析:由题意,原命题等价于tanx≤m在区间0,π4上恒成立,即y=tanx在0,π4上的最大值小于或等于m,又y=tanx在0,π4上的最大值为1,所以m≥1,即m的最小值为1.答案:110.已知命题p:关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集是{x|x0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围是________.解析:由关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集是{x|x0},知0a1.由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,知不等式ax2-x+a0的解集为R,则a0,1-4a20,解得a12.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”.故a1,a12或0a1,a≤12,即a∈0,12∪(1,+∞).答案:0,12∪(1,+∞)11.(2019·南通模拟)已知命题p1:∀x∈(0,+∞),3x2x,p2:∃θ∈R,sinθ+cosθ=32,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是________.解析:因为y=32x在R上是增函数,即y=32x1在(0,+∞)上恒成立,所以命题p1是真命题;sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)≤2,所以命题p2是假命题,¬p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(¬p2)是真命题.答案:q1、q412.下列结论:①若命题p:∃x∈R,tanx=1;命题q:∀x∈R,x2-x+10,则命题“p∧(¬q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是ab=-3;③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.解析:①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p∧(¬q)为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.答案:①③13.给出如下四个命题:①若“p∨q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1≤1”;④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确的命题的序号是________.解析:若“p∨q”为假命题,则p,q都为假命题,所以①正确;②正确;“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1<1”,所以③不正确;在△ABC中,若A>B,则a>b,根据正弦定理可得sinA>sinB,所以④正确.故不正确的命题为③.答案:③14.已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,则a的取值范围为________.解析:由2x2+ax-a2=0得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2或x=-a,所以当命题p为真命题时a2≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”,即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.所以命题“p或q”为真命题时,|a|≤2.因为命题“p或q”为假命题,所以a2或a-2.即a的取值范围为{a|a2或a-2}.答案:{a|a2或a-2}1.已知a0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:函数y=2x-2a(x≥2a),2a(x2a)且y1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.解:若p是真命题,则0a1,若q是真命题,则y1恒成立,即y的最小值大于1,而y的最小值为2a,只需2a1,所以a12,所以q为真命题时,a12.又因为p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假,若p真q假,则0a≤12;若p假q真,则a≥1,故a的取值范围为a0a≤12或a≥1.2.(2019·常州模拟)设p:实数x满足x2-5ax+4a2<0(其中a>0),q:实数x满足2<x≤5.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若¬q是¬p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,x2-5x+4<0,解得1<x<4.即p为真时,实数x的取值范围是1<x<4.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,4).(2)¬q是¬p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则BA,由x2-5ax+4a2<0得(x-4a)(x-a)<0,因为a>0,所以A=(a,4a),又B=(2,5],则a≤2且4a>5,解得54<a≤2.所以实数a的取值范围为54,2.3.已知函数f(x)=ax+b1+x2(x≥0),且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,又g(1)=0,f(3)=2-3.(1)求f(x)的表达式及值域;(2)问是否存在实数m,使得命题p:f(m2-m)f(3m-4)和q:gm-1434满足复合命题p且q为真命题?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由g(1)=0,f(3)=2-3可得a=-1,b=1,故f(x)=1+x2-x(x≥0),由于f(x)=11+x2+x在[0,+∞)上递减,所以f(x)的值域为(0,1].(2)存在.因为f(x)在[0,+∞)上递减,故p真⇒m2-m3m-4≥0⇒m≥43且m≠2;又f34=12,即g12=34,故q真⇒0m-1412⇒1m3.故存在m∈43,2∪(2,3)满足复合命题p且q为真命题.4.已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,a≠1)有意义;q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;(2)若“命题p”是“命题q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)由对数式有意义得-2t2+7t-5>0,解得1<t<52.即实数t的取值范围是1,52.(2)因为“命题p”是“命题q”的充分不必要条件,所以t|1<t<52是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0解集的真子集.法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1,a+2,故只需a+2>52,解得a>12.即a的取值范围是12,+∞.法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因f(1)=0,故只需f52<0,解得a>12.即a的取值范围是12,+∞.
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 3 第3讲 简单的逻辑联结词、
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