（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 2 第2讲 命题及其关系、充分

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是x＝________．解析：a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0，得x＝0.答案：02．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________．解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析：当a＝3时A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.答案：充分不必要4．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的________条件．解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要5．命题：“若x21，则－1x1”的逆否命题是________．解析：x21的否定为：x2≥1；－1x1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：若x≥1或x≤－1，则x2≥16．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，因为A∪B＝C，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．答案：充分必要7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：18．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数．答案：必要不充分9．若命题“ax2－2ax－30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得a0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.答案：[－3，0]10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x4}，由题意得AB，结合数轴易得a4.答案：(4，＋∞)11．有下列几个命题：①“若ab，则a2b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x24，则－2x2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③12．(2019·扬州四校联考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x2”是“1x12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x12，则1x－12＝2－x2x0，解得x0或x2，所以“x2”是“1x12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案：①②13．(2019·南通数学学科基地命题)△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC＝(3cosA＋sinA)cosB”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：条件“△ABC中，角A，B，C成等差数列”⇔B＝π3；结论“sinC＝(3cosA＋sinA)cosB”⇔sin(A＋B)＝3cosA·cosB＋sinAcosB⇔cosAsinB＝3cosAcosB⇔cosA＝0或sinB＝3cosB⇔A＝π2或B＝π3.所以条件是结论的充分不必要条件．答案：充分不必要14．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)1．若a，b∈R，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；②若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b0；④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b0；⑤若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，命题的序号依次是①③②④.答案：①③②④2．(2019·无锡质检改编)若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：f(x)＝2x－(k2－3)·2－x⇒f(－x)＝2－x－(k2－3)·2x，因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，则k2－3＝1⇒k＝±2，“k＝2”是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．答案：充分不必要3．设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋10恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．解：若命题p为真，则当a＝0时，不等式为2x＋10，显然不能恒成立，故a＝0不适合；当a≠0时，不等式ax2＋2x＋10恒成立的条件是a0，Δ＝22－4a0，解得a1.若命题q为真，则04a－31，解得34a1.由题意，可知p、q一真一假．当p真q假时，a的取值范围是{a|a1}∩a|a≤34或a≥1＝{a|a1}；当p假q真时，a的取值范围是{a|a≤1}∩a|34a1＝a|34a1；所以实数a的取值范围是34，1∪(1，＋∞)．4．已知集合M＝{x|x－3或x5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5x≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M∩P＝{x|5x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5x≤8}的充要条件是－3≤a≤5.(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5x≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5x≤8}；反之，M∩P＝{x|5x≤8}未必有a＝0，故“a＝0”是“M∩P＝{x|5x≤8}”的一个充分不必要条件．5．已知全集U＝R，非空集合A＝xx－2x－（3a＋1）0，B＝xx－a2－2x－a0.(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；(2)p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝12时，A＝xx－2x－520＝x2x52，B＝xx－94x－120＝x12x94，所以∁UB＝xx≤12或x≥94.所以(∁UB)∩A＝x94≤x52.(2)因为a2＋2a，所以B＝{x|axa2＋2}．①当3a＋12，即a13时，A＝{x|2x3a＋1}．因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以a≤2，3a＋1≤a2＋2，即13a≤3－52.②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，不符合题意；③当3a＋12，即a13时，A＝{x|3a＋1x2}，由A⊆B得a≤3a＋1，a2＋2≥2，所以－12≤a13.综上所述，实数a的取值范围是－12，13∪13，3－52.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1，n∈N*)，求数列{an}是等比数列的充要条件．解：a1＝S1＝p＋q.当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．因为p≠0，p≠1，所以pn（p－1）pn－1（p－1）＝p.若{an}为等比数列，则a2a1＝an＋1an＝p，所以p（p－1）p＋q＝p，因为p≠0，所以p－1＝p＋q，所以q＝－1.这是{an}为等比数列的必要条件．下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1，n∈N*)，a1＝S1＝p－1，当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)，所以an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，anan－1＝（p－1）pn－1（p－1）pn－2＝p为常数．所以q＝－1时，数列{an}为等比数列，即“数列{an}是等比数列”的充要条件为“q＝－1”．