（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 数列 2 第2讲 等差数列及其前n项和刷好题练能力

第2讲等差数列及其前n项和1．(2019·南通模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝1，a4＝5，则S5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d，d＝2，a1＝－1，S5＝15.法二：S5＝5（a1＋a5）2＝5（a2＋a4）2＝5×62＝15.答案：152．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．解析：am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37.所以m＝37.答案：373．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．解析：设{an}的公差为d，由题意知2a1＋d＝6a1＋6×52d，a1＋3d＝1，解得a1＝7，d＝－2，所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.答案：－14．(2019·常州模拟)记Sn为等差数列{an}前n项和，若S33－S22＝1，则其公差d＝________．解析：由S33－S22＝1，得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝1，即a1＋d－a1＋d2＝1，所以d＝2.答案：25．已知{an}为等差数列，若a11a10－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.解析：由a11a10－1，得a11＋a10a100，且它的前n项和Sn有最大值，则a100，a110，a11＋a100，则S190，S200，那么当Sn取得最小正值时，n＝19.答案：196．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则S3S7－S4的值为________．解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a23＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以S3S7－S4＝3a1＋3×22d7a1＋7×62d－4a1＋4×32d＝3a1＋3d3a1＋15d＝－9d3d＝－3.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a23＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以S3S7－S4＝3a23a6＝a1＋da1＋5d＝－3dd＝－3.答案：－37．(2019·南通模拟)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N，n≥2)，则a7＝________.解析：因为2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N，n≥2)，所以数列{a2n}是以a21＝1为首项，以d＝a22－a21＝3为公差的等差数列，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝3n－2，n≥1，所以a7＝3×7－2＝19.答案：198．在等差数列{an}中，a10，a10·a110，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．解析：由a10，a10·a110可知d0，a100，a110，所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.答案：609．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a10，Sn是数列{an}的前n项和，若Sn取得最大值，则n等于________．解析：因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以a1＝－334d0，所以d0，所以an＝a1＋(n－1)d＝d4(4n－37)，当n≤9时，an0，当n≥10时，an0，所以使Sn取得最大值的n＝9.答案：910．(2019·南京模拟)已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且anan＋1＋anan－1＝2，则a12＝________．解析：因为anan＋1＋anan－1＝2，所以1an＋1＋1an－1＝2an，所以1an为等差数列，且首项为1a1＝12，公差为1a2－1a1＝12，所以1an＝12＋(n－1)×12＝n2，所以an＝2n，所以a12＝16.答案：1611．(2019·徐州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－12an－1＋1(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝1an(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：因为bn＝1an，且an＝an－12an－1＋1，所以bn＋1＝1an＋1＝1an2an＋1＝2an＋1an，所以bn＋1－bn＝2an＋1an－1an＝2.又b1＝1a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝1an，所以an＝1bn＝12n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝12n－1.12．(2019·南京、盐城高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－Snn，(n＋2)·cn＝an＋1＋an＋22－Snn，其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．解：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a1＋2(n－1)，Snn＝a1＋n－1.因为(n＋2)cn＝a1＋2n＋a1＋2（n＋1）2－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－Snn，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)·an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.从而(n＋2)cn＝an＋1＋an＋22－Snn＝an＋1＋an＋22－[an＋1－(n＋1)bn]＝an＋2－an＋12＋(n＋1)bn＝（n＋2）bn＋1－nbn2＋(n＋1)bn＝n＋22(bn＋bn＋1)，因此cn＝12(bn＋bn＋1)．因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝12(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.所以(n＋1)λ＝an＋1－Snn，①(n＋2)λ＝12(an＋1＋an＋2)－Snn，②②－①得12(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，故an＋1－an＝2λ(n≥2)．又2λ＝a2－S11＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．所以数列{an}是等差数列．1．已知等差数列{an}中，a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________．解析：因为a8＝a1＋7d≥15，a9＝a1＋8d≤13，所以a12＝a1＋11d＝－3(a1＋7d)＋4(a1＋8d)≤7.答案：(－∞，7]2．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为________．解析：设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件得（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，（a－2d）2＋（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＋（a＋2d）2＝859，解得a＝1，d＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.答案：－35813．下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：①数列{an}是递增数列；②数列{nan}是递增数列；③数列ann是递增数列；④数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为________．(填序号)解析：因为d0，所以an＋1an，所以①是真命题．因为n＋1n，但是an的符号不知道，所以②是假命题．同理③是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d0，所以④是真命题．答案：①④4．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则第2天织的布的尺数为________．解析：由题意可知，织布数量是以5为首项的等差数列，且前30项的和为390.设公差为d，30×5＋30×29d2＝390，解得d＝1629，所以第2天织布的尺数为d＋5＝16129.答案：161295．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数)．(1)证明：ann是等差数列；(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充要条件，使得数列{an}是等差数列，并说明理由．解：(1)证明：由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)，可得an＋1n＋1＝ann＋c，所以ann是以1为首项，c为公差的等差数列．(2)由(1)可知，ann＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{an}是等差数列的充要条件是an＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n，则c＝1.6．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))已知正项数列：a1，a2，…，am(m≥4，m∈N*)满足a1，a2，a3，…，ak－1，ak(km，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是公比为2的等比数列．(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；(2)若a1＝d＝2，m2016，求m的最大值．解：(1)由已知km，k∈N*，当n≤k，n∈N*时，an＝2n，ak＝a8＝16，故a1，a2，a3，…，ak－1，ak(km，k∈N*)为2，4，6，8，10，12，14，16.又a1，am，am－1，…，ak＋1，ak的公比为2，则对应的数为2，4，8，16，从而a1，a2，…，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4.此时m＝10，Sm＝8（2＋16）2＋8＋4＝84.(2)a1，a2，a3，…，ak－1，ak(km，k∈N*)是首项为2，公差为2的等差数列，故当n≤k，n∈N*时，an＝2n，从而ak＝2k.而a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是首项为2，公比为2的等比数列，且ak＝2m－k＋2.故有2k＝2m－k＋2，即k＝2m－k＋1，则k必是2的正整数幂．又k·2k＝2m＋1，若m最大，k必须最大，又km2016，故k的最大值为210.所以210×2210＝210×21024＝21034＝2m＋1，即m的最大值为1033.