（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1 第1讲 平面

第1讲平面向量的概念与线性运算1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是________个．解析：a＋(－a)＝0，故③错．答案：42．(2019·盐城模拟)给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.答案：①②④3．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝________．解析：因为CB→＝AB→－AC→＝a－b，又BD→＝3DC→，所以CD→＝14CB→＝14(a－b)，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋14(a－b)＝14a＋34b.答案：14a＋34b4．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列命题：①AD→＝12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④AD→＋BE→＋CF→＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC→＝a，CA→＝b，AD→＝12CB→＋AC→＝－12a－b，故①错；BE→＝BC→＋12CA→＝a＋12b，故②正确；CF→＝12(CB→＋CA→)＝12(－a＋b)＝－12a＋12b，故③正确；所以AD→＋BE→＋CF→＝－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0.所以正确命题为②③④.答案：35．若|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________．解析：因为|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB→＋AC→|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB→＋AC→|＝23.答案：236．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．解析：根据题意有|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，即|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，从而得到AB→⊥AC→，所以三角形为直角三角形．答案：直角三角形8．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________．解析：因为a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．所以a－tb与a－13(a＋b)共线．即a－tb与23a－13b共线．所以存在实数λ，使a－tb＝λ23a－13b，所以1＝23λ，t＝13λ，解得λ＝32，t＝12，即t＝12时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．答案：129．已知点P在△ABC所在的平面内，若2PA→＋3PB→＋4PC→＝3AB→，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．解析：由2PA→＋3PB→＋4PC→＝3AB→，得2PA→＋4PC→＝3AB→＋3BP→，所以2PA→＋4PC→＝3AP→，即4PC→＝5AP→.所以AP→＝45PC→，P点在边AC上，且|AP→||PC→|＝45，设△ABC中，AC边上的高为h，则S△PABS△PBC＝12|AP→|·h12|PC→|·h＝|AP→||PC→|＝45.答案：4510．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB→＝2DC→.因为点E在线段CD上，所以DE→＝λDC→(0≤λ≤1)．因为AE→＝AD→＋DE→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→＝AD→＋2μλDE→，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：0，1211．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA→＝－2i＋mj，OB→＝ni＋j，OC→＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．解：AB→＝OB→－OA→＝(n＋2)i＋(1－m)j，BC→＝OC→－OB→＝(5－n)i－2j.因为点A，B，C在同一条直线上，所以AB→∥BC→，从而存在实数λ使得AB→＝λBC→.即(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]．所以n＋2＝λ（5－n），1－m＝－2λ，m＝2n，解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32.12．已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，所以OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，所以BP→与BA→共线．又因为BP→与BA→有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则BP→与BA→共线，故存在实数λ，使BP→＝λBA→，所以OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→，故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ－1)OB→＝0.因为O，A，B不共线，所以OA→，OB→不共线，所以m－λ＝0，n＋λ－1＝0，所以m＋n＝1.