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第8讲不等式选讲1.解不等式x+|2x+3|≥2.解:原不等式可化为x-32,-x-3≥2或x≥-32,3x+3≥2.解得x≤-5或x≥-13.综上,原不等式的解集是xx≤-5或x≥-13.2.若a、b、c为正实数,且1a+12b+13c=1,求a+2b+3c.解:a+2b+3c=(a+2b+3c)·1a+12b+13c≥a·1a+2b·12b+3c·13c2=9.(当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=32,c=1时等号成立)3.已知实数x,y满足:|x+y|<13,|2x-y|<16,求证:|y|<518.证明:因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<13,|2x-y|<16,从而3|y|<23+16=56,所以|y|<518.4.(2019·常州模拟)已知a0,b0,证明:(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.证明:因为a0,b0,所以a2+b2+ab≥33a2·b2·ab=3ab0,ab2+a2b+1≥33ab2·a2b·1=3ab0,所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.5.(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数f(x)=2|x-1|-a,g(x)=-|2x+6|,若函数y=f(x)的图象恒在函数y=12g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围.解:因为y=f(x)的图象恒在函数y=12g(x)的图象的上方,故f(x)-12g(x)0,即a2|x-1|+|x+3|对任意的x∈R恒成立.设h(x)=2|x-1|+|x+3|,则h(x)=-3x-1,x≤-35-x,-3x≤13x+1,x1.数形结合得当x=1时,h(x)取得最小值4.故当a4时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=12g(x)的图象的上方,即实数a的取值范围为(-∞,4).6.(2019·苏锡常镇四市调研)求函数y=1-x+3x+2的最大值.解:因为(1-x+3x+2)2=3-3x·13+3x+2·12≤(3-3x+3x+2)13+1=203,所以y=1-x+3x+2≤2153.等号当且仅当3-3x13=3x+21,即x=712时成立.所以y的最大值为2153.7.(2019·镇江模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对任意a,b∈R恒成立,求实数x的取值范围.解:若a=0,则不等式转化为2|b|≥0恒成立,此时x∈R.若a≠0,由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)可得f(x)≤|a+b|+|a-b||a|恒成立,而|a+b|+|a-b||a|≥|a+b+a-b||a|=2,所以f(x)≤2恒成立,即|x-1|+|x-2|≤2⇔x≤13-2x≤2或1x21≤2或x≥22x-3≤2⇔12≤x≤52.由于不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对任意a,b∈R恒成立,所以x的取值范围是12,52.8.(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))设a,b,c为正数,求证:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).证明:因为a,b,c为正数,所以a2+b2≥2ab0(当且仅当a=b时等号成立),所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b),同理b3+c3≥bc(b+c)(当且仅当b=c时等号成立),c3+a3≥ca(c+a)(当且仅当c=a时等号成立).三式相加可得2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),又ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).9.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范围.解:由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+13+16≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件得,5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,当且仅当2b12=3c13=6d16时,等号成立,代入b=12,c=13,d=16时,amax=2;代入b=1,c=23,d=13时,amin=1,所以a的取值范围是[1,2].10.已知函数f(x)=m-|x-1|-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集为[0,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c,x,y,z∈R,x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+cz≤1.解:(1)因为f(x+1)≥0,所以|x|+|x-1|≤m.当m<1时,因为|x|+|x-1|≥1,所以不等式|x|+|x-1|≤m的解集为∅,不符合题意.当m≥1时,①当x0时,得x≥1-m2,所以1-m2≤x0.②当0≤x≤1时,得x+1-x≤m,即1≤m恒成立.③当x1时,得x≤m+12,所以1x≤m+12.综上,|x|+|x-1|≤m的解集为x1-m2≤x≤m+12.由题意得1-m2=0m+12=1所以m=1.(2)证明:因为x2+a2≥2ax,y2+b2≥2by,z2+c2≥2cz,所以a2+b2+c2+x2+y2+z2≥2(ax+by+cz).由(1)知x2+y2+z2=a2+b2+c2=1,所以2(ax+by+cz)≤2,所以ax+by+cz≤1.
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 8 第8讲 不等式选讲刷好题练能力
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