（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 2 第2讲 二元一次不等式（组

第2讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a＋7)·(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.答案：(－7，24)2．已知实数对(x，y)满足x≤2，y≥1，x－y≥0，则2x＋y取最小值时的最优解是________．解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1，1)时，(2x＋y)min＝3.答案：(1，1)3．(2019·常州质检)若x，y满足约束条件x＋2y－2≥0，x－y＋1≥0，2x＋y－4≤0，z＝x－2y，则z的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图．由图可知当z＝x－2y过点A时，z取得最大值；当z＝x－2y过点B时，z取得最小值，由x－y＋1＝0，2x＋y－4＝0解得B(1，2)，则zmin＝1－2×2＝－3，由x＋2y－2＝0，2x＋y－4＝0解得A(2，0)，则zmax＝2－2×0＝2，故z＝x－2y的取值范围是[－3，2]．答案：[－3，2]4．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(四))设M，N是不等式组x≥1，y≥1，x－y＋1≥0，x＋y≤6所表示的平面区域内的两个不同的点，则MN的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，数形结合可知，直线x－y＋1＝0与x＝1的交点为(1，2)，直线x＋y－6＝0与y＝1的交点为(5，1)，点(1，2)与(5，1)间的距离是不等式组所表示的平面区域中两点之间的最大距离，所以(MN)max＝17.答案：175．若非负变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，则x＋y的最大值为________．解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令z＝x＋y，易知当直线y＝－x＋z经过点C(4，0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax＝4.答案：46．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(五))设不等式组y≥0，x－y≥0，x＋y－6≤0表示的平面区域为D，P(x，y)是区域D内任意一点，则|x－3|－y的最大值是________．解析：作出不等式组y≥0，x－y≥0，x＋y－6≤0表示的平面区域D如图中阴影部分所示，其中三角形的三个顶点分别为(0，0)，(3，3)，(6，0)，令t＝|x－3|－y，所以当x≥3时，t＝x－3－y，移动直线x－y＝0，可得当直线过点(6，0)时，tmax＝3；当x3时，t＝－x＋3－y，移动直线x＋y－6＝0，可得当直线过点(0，0)时，tmax＝3.综上，|x－3|－y的最大值是3.答案：37．设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，则区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.答案：2558．已知O为坐标原点，A(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件x＋|y|≤1，x≥0，则z＝OA→·OP→的最大值为________．解析：如图作可行域，z＝OA→·OP→＝x＋2y，显然在B(0，1)处zmax＝2.答案：29．(2019·江苏省师大附中模拟)设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则z＝yx－xy的取值范围是________．解析：由于yx表示可行域内的点(x，y)与原点(0，0)的连线的斜率，如图，求出可行域的顶点坐标A(3，1)，B(1，2)，C(4，2)，则kOA＝13，kOB＝2，kOC＝12，可见yx∈13，2，令yx＝t，则z＝t－1t在13，2上单调递增，所以z∈－83，32.答案：－83，3210．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可获得的最大利润是________．解析：设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则x＋2y≤12，2x＋y≤12，x，y∈N，z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4，4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．答案：2800元11．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线12x－y＋12＝0，过A(3，4)时，z取最小值－2，过C(1，0)时，z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1－a22，解得－4a2.故所求a的取值范围为(－4，2)．12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为5x＋7y＋4（100－x－y）≤600，100－x－y≥0，x，y∈N.整理得x＋3y≤200，x＋y≤100，x，y∈N.目标函数为w＝2x＋3y＋300.作出可行域，如图所示阴影中整点部分：初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由x＋3y＝200，x＋y＝100，得x＝50，y＝50.最优解为A(50，50)，所以wmax＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．1．已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m＝________．解析：先作出满足不等式组y≥1，y≤2x－1的区域如图．由z＝x－y得y＝x－z可知，直线的纵截距最大时，z取得最小值，此时直线y＝x－(－2)＝x＋2，作出直线y＝x＋2，交y＝2x－1于A点，由y＝2x－1，y＝x＋2，得x＝3，y＝5，代入x＋y＝m得m＝3＋5＝8.答案：82．设变量x，y满足约束条件x＋y≤a，x＋y≥8，x≥6，y≥0，且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.答案：[8，10]3．(2019·苏州模拟)已知集合A＝（x，y）x≥1，2x－y≤1，集合B＝{(x，y)|3x＋2y－m＝0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于________．解析：问题转化为：求当x，y满足约束条件x≥1，2x－y≤1时，目标函数m＝3x＋2y的最小值．在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．可以求得在点(1，1)处，目标函数m＝3x＋2y取得最小值5.答案：54．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))设x，y满足约束条件x≥0y≥02x＋y≤2，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为M，且M的取值范围是[1，2]，则点P(a，b)所组成的平面区域的面积是________．解析：作出约束条件x≥0y≥02x＋y≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB及其内部)．将目标函数z＝ax＋by(a0，b0)化为直线方程的形式为y＝－abx＋zb，若－ab≤－2，当直线y＝－abx＋zb经过点A(1，0)时，z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值M＝a∈[1，2]，由a0b0－ab≤－2a∈[1，2]得点P(a，b)所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为34.若－ab－2，当直线y＝－abx＋zb经过点B(0，2)时，z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值M＝2b∈[1，2]，由a0b0－ab－22b∈[1，2]得点P(a，b)所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为34.综上，点P(a，b)所组成的平面区域的面积为32.答案：325．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)法一：因为PA→＋PB→＋PC→＝0，又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，即OP→＝(2，2)，故|OP→|＝22.法二：因为PA→＋PB→＋PC→＝0，则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，所以OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2，2)，所以|OP→|＝22.(2)因为OP→＝mAB→＋nAC→，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，所以x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.6．设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1)由点P的坐标和三角函数的定义，可得sinθ＝32，cosθ＝12.于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)如图所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，由图可知0≤θ≤π2.又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.