（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 9 第9讲 函数模型及其

第9讲函数模型及其应用1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x200，即1.12x21.3⇒xlg21.3lg1.12＝lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．答案：20192．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是________．①y＝2x；②y＝x2－1；③y＝2x－2；④y＝log2x.解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除①；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除②、③；将各数据代入函数y＝log2x，都能近似相等可知满足题意．答案：④3．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为________．解析：由题意可知，7月份的销售额为500(1＋x%)，8月份的销售额为500(1＋x%)2，因为一月至十月份销售总额至少达7000万元，所以3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简得x2＋300x－6400≥0，解得x≥20(舍去x≤－320)，故x的最小值为20.答案：204．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．解析：设按出厂价y元购买x套(x≤50)应付a元，则a＝xy，又a＝(y－30)(x＋11)，又x＋11＞50，即x＞39，所以39＜x≤50，所以xy＝(y－30)(x＋11)，所以3011x＝y－30，又x、y∈N*且39＜x≤50，所以x＝44，y＝150，所以a＝44×150＝6600.答案：66005．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e12k，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，所以当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.答案：2ln210246．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得到利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2122＋0.1×2124＝32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：437．2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口首次将超过20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)解析：由已知条件：14(1＋1.25%)x－201420，x－2014lg107lg8180＝1－lg74lg3－3lg2－1≈28.7，则x2042.7，即x＝2043.答案：20438．(2019·镇江模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：抽n次后容器剩下的空气为(40%)n，由题意知，(40%)n0.1%，即0.4n0.001，所以nlg0.4－3，所以n31－2lg2＝31－2×0.3010≈7.54，所以n的最小值为8.答案：89.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·x2＝BC＋x，h＝32x，所以93＝12(2BC＋x)32x，得BC＝18x－x2，由h＝32x≥3，BC＝18x－x20，得2≤x6.由y＝BC＋2x＝18x＋3x2≤10.5，得3≤x≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x的范围是[3，4]．答案：[3，4]10.(2019·连云港模拟)如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过mmin后桶1中的水只有a8升，则m＝________.解析：由题意，得ae－5n＝a－ae－5n⇒e－n＝1215.再经过mmin后，桶1中的水只有a8升，则有ae－n(5＋m)＝a8，即e－n(5＋m)＝2－3，亦即125＋m5＝123，所以m＋55＝3，解得m＝10.答案：1011．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．因为R(x)在[0，210]上是增函数，所以x＝210时，R(x)有最大值为R(210)＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元)．所以年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．12．为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115.令50x－1150，解得x2.3.因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*.当x6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－1150，有3x2－68x＋1150.又x∈N*，所以6x≤20(x∈N*)，故y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），－3x2＋68x－115（6x≤20，x∈N*）.(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113(6x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270.又因为270185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．1．(2019·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于120，说明理由．解：(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一：依题意x＝0.2a.所以P＝mxy＝xk（ax＋5）＝0.2ak（0.2a2＋5）＝ak（a2＋25）≤a3（a2＋25）＝13a＋25a≤13×2a×25a＝130＜120.即P不可能大于120.法二：依题意x＝0.2a.所以P＝mxy＝xk（ax＋5）＝0.2ak（0.2a2＋5）＝ak（a2＋25）.假设P＞120，得ka2－20a＋25k＜0.因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解．即P不可能大于120.2．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，且m0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．解：(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，当θ＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x≥1，则x＋1x＝52，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122t恒成立．令12t＝y，则0y≤1，所以m≥2(y－y2)，由于y－y2≤14，所以m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是12，＋∞.3．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表(x∈N*)：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1)y关于x的函数关系式为y＝2x，0≤x≤4，4x－8，4x≤6，6x－20，x6.(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112