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第1讲函数及其表示1.下列四组函数中,表示同一函数的序号是________.①y=x-1与y=(x-1)2;②y=x-1与y=x-1x-1;③y=4lgx与y=2lgx2;④y=lgx-2与y=lgx100.解析:对于①,对应法则不同;对于②③,定义域不同.答案:④2.已知f1x=x2+5x,则f(x)=________.解析:令t=1x,所以x=1t,所以f(t)=1t2+5t.所以f(x)=5x+1x2(x≠0).答案:5x+1x2(x≠0)3.若函数f(x)=ex-1,x≤1,5-x2,x1,则f(f(2))=________.解析:由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,所以f(f(2))=1.答案:14.已知具有性质:f1x=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x-1x;②f(x)=x+1x;③f(x)=x,0x1,0,x=1,-1x,x1.其中满足“倒负”变换的函数是________.解析:对于①,f(x)=x-1x,f1x=1x-x=-f(x),满足;对于②,f1x=1x+x=f(x),不满足;对于③,f1x=1x,01x1,0,1x=1,-x,1x1,即f1x=1x,x1,0,x=1,-x,0x1,故f1x=-f(x),满足.答案:①③5.(2019·镇江模拟)已知函数f(x)=log2x,x0x2,x≤0,若f(4)=2f(a),则实数a的值为________.解析:f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1.答案:2或-16.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是________(填序号).解析:从球的形状可知,液体的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.答案:③7.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=________.解析:由题意知2f(x)-f(-x)=3x+1.①将①中x换为-x,则有2f(-x)-f(x)=-3x+1.②①×2+②得3f(x)=3x+3,即f(x)=x+1.答案:x+18.(2019·淮安模拟)已知函数f(x)=sin(πx2),-1x0,ex-1,x≥0,若f(1)+f(a)=2,则实数a的所有可能值为________.解析:当-1a0时,f(1)+f(a)=1+sin(πa2)=2,所以sin(πa2)=1,所以πa2=2kπ+π2,k∈Z,所以a=±2k+12,k∈Z,又-1a0,所以a=-22.当a≥0时,f(1)+f(a)=1+ea-1=2,所以ea-1=1,所以a=1.综上,a的所有可能值为-22和1.答案:-22和19.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于________.解析:由已知可得M=N,故a2-4a=-2,b2-4b+1=-1,即a2-4a+2=0,b2-4b+2=0,所以a,b是方程x2-4x+2=0的两根,故a+b=4.答案:410.已知f(x)=12x+1,x≤0,-(x-1)2,x>0,则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是________.解析:由题意知x≤0,12x+1≥-1或x>0,-(x-1)2≥-1,解得-4≤x≤0或0<x≤2,故x的取值范围是[-4,2].答案:[-4,2]11.如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至A,若点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;(2)画出函数的图象并写出函数的值域.解:(1)由题意可求∠B=60°,如图所示,①当点P在BC上运动时,如图①所示,y=12×10×(xsin60°)=532x,0≤x≤4.②当点P在CD上运动时,如图②所示,y=12×10×4sin60°=103,4x≤10.③当点P在DA上运动时,如图③所示,y=12×10×(14-x)sin60°=-532x+353,10x≤14.综上所得,函数的解析式为y=532x,0≤x≤4,103,4x≤10,-532x+353,10x≤14.其定义域为[0,14].(2)函数y=f(x)的图象如图所示.由图象可知,函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是0≤y≤103.所以函数y=f(x)的值域为[0,103].12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.解:(1)因为对任意x∈R有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,又f(2)=3,从而f(1)=1.若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.令x=x0,有f(x0)-x20+x0=x0.又因为f(x0)=x0,所以x0-x20=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=1,则有f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件.综上,所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 1 第1讲 函数及其表示
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