（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 5 第5讲 椭 圆刷好题练能力 文

第5讲椭圆1．已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．解析：因为方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由2－k0，2k－10，2k－12－k得k2，k12，k1，故k的取值范围为(1，2)．答案：(1，2)2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为________．解析：依题意，2c＝4，c＝2，又e＝ca＝22，则a＝22，b＝2，所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.答案：x28＋y24＝13．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A，B，则△ABM的周长为________．解析：M(3，0)与F(－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－3，0)，且AB＝AF＋BF，△ABM的周长等于AB＋AM＋BM＝(AF＋AM)＋(BF＋BM)＝4a＝8.答案：84．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．解析：把椭圆方程化成x21m＋y21n＝1.若m＞n＞0，则1n＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则1n＞1m＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．答案：充要5．如图，椭圆x2a2＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．解析：b2＝2，c＝a2－2，故F1F2＝2a2－2，又PF1＝4，PF1＋PF2＝2a，PF2＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝42＋（2a－4）2－（2a2－2）22×4×（2a－4）＝－12，化简得8a＝24，即a＝3.答案：36．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，所以e＝35或e＝－1(舍去)．答案：357．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为________．解析：因为PF1→·PF2→＝0，所以PF1→⊥PF2→，所以PF1＋PF2＝655c＝2a，所以e＝ca＝53.答案：538．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c，0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，所以只需2ca，c2a2＋c2b21⇒0ca12.即椭圆离心率的取值范围是0，12.答案：0，129．(2019·无锡调研)过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点A(0，－2)，B53，43，所以S△OAB＝12·OF·|yA－yB|＝12×1×－2－43＝53.答案：5310．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案：3－111.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．解：(1)由题意知b＝22＝2.因为离心率e＝ca＝32，所以ba＝1－ca2＝12.所以a＝22.所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝y0－1x0x＋1，①直线QN的方程为y＝y0－2－x0x＋2.②设T(x，y)．联立①②解得x0＝x2y－3，y0＝3y－42y－3.因为x208＋y202＝1，所以18x2y－32＋123y－42y－32＝1.整理得x28＋（3y－4）22＝(2y－3)2，所以x28＋9y22－12y＋8＝4y2－12y＋9，即x28＋y22＝1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．12．(2019·南通市、泰州市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，两条准线之间的距离为42.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意，得ca＝22，2a2c＝42，得a＝2，c＝2，所以b＝2，所以椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点．因为椭圆的方程为x24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)，所以x20＋y20＝89①，（2x0＋2）24＋（2y0）22＝1②.由①②，得9x20－18x0－16＝0，解得x0＝－23，x0＝83(舍去)．把x0＝－23代入①，得y0＝±23，所以kAB＝±12，因此，直线AB的方程为y＝±12(x＋2)，即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.1．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________．解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.答案：72．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)0，得b2ac，即a2－c2ac，故ca2＋ca－10即e2＋e－10，e5－12或e－5－12，又0e1，所以5－12e1.答案：5－12，13．以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是________．解析：如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连结O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是OO1＝12PF2＝12(2a－PF1)＝a－12PF1＝R－r，故两圆内切．答案：内切4．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF→1·PF→2＝0，则e21＋e22（e1e2）2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1F2＝2c，P为第一象限的交点，由题意得PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，所以PF21＋PF22＝2a21＋2a22.又因为PF→1·PF→2＝0，所以PF1⊥PF2.所以PF21＋PF22＝F1F22，即2a21＋2a22＝4c2.所以a1c2＋a2c2＝2，即1e21＋1e22＝2，即e21＋e22（e1e2）2＝2.答案：25.(2019·南京学情调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝22，一条准线方程为x＝2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．解：(1)因为ca＝22，a2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝a2－c2＝1.故椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)法一：设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，－y1)．因为kAP＝y1－1x1－0＝y1－1x1，所以直线AP的方程为y＝y1－1x1x＋1.令y＝0，解得m＝－x1y1－1.因为kAQ＝－y1－1x1－0＝－y1＋1x1，所以直线AQ的方程为y＝－y1＋1x1x＋1.令y＝0，解得n＝x1y1＋1.所以mn＝－x1y1－1×x1y1＋1＝x211－y21.又因为(x1，y1)在椭圆x22＋y2＝1上，所以x212＋y21＝1，即1－y21＝x212，所以x211－y21＝2，即mn＝2.所以mn为常数，且常数为2.法二：设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y＝kx＋1，令y＝0，得m＝－1k.联立方程组y＝kx＋1，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP＝－4k1＋2k2，所以yP＝k×xP＋1＝1－2k21＋2k2，则Q点的坐标为－4k1＋2k2，－1－2k21＋2k2.所以kAQ＝－1－2k21＋2k2－1－4k1＋2k2＝12k，故直线AQ的方程为y＝12kx＋1.令y＝0，得n＝－2k，所以mn＝－1k×(－2k)＝2.所以mn为常数，常数为2.6．(2019·苏州市高三调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．解：(1)由题意得ca＝22，故a＝2c.又椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)，所以a－c＝3(2－1)，所以c＝3，a＝32，所以b2＝a2－c2＝9，所以椭圆C的标准方程为x218＋y29＝1.(2)当直线l的斜率为0时，对于x218＋y29＝1，令y＝－1，则x＝±4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.联立，得x2＋（y＋1）2＝16，x2＋y2＝9，解得x＝0，y＝3，即两圆的交点为(0，3)，记T(0，3)．猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0，3)．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－1，x218＋y29＝1得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0.所以Δ＝(－4k)2＋64(1＋2k2)＝144k2＋640，x1＋x2＝4k1＋2k2，x1x2＝－161＋2k2.因为TA→·TB→＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)·x1x2－4