（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程刷好题练能力 文

第3讲圆的方程1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．答案：(2，－3)2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．解析：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝23．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________．解析：由题意易得线段的端点为(0，2)，(2，0)，线段的中点即圆心为(1，1)，所以圆的半径为r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24．(2019·南京模拟)已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为________．解析：r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2，当k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)5．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________．解析：由题意得C1(－1，1)，圆心C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，且半径相等，则C2(2，－2)，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝16．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________．解析：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|5＝95，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝45.答案：457．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知a0|－a|2⇒a－2|2a|2.答案：(－∞，－2)8．(2019·南通市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．解析：设BC的中点为M(x，y)，因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得x－122＋y－122＝32，所以点M的轨迹是以12，12为圆心，62为半径的圆，又A与12，12的距离为22，所以AM的取值范围是6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．答案：[6－2，6＋2]9．(2019·苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2，0)，若圆C上存在点M满足MA2＋MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是________．解析：设M(x，y)，因为A(2，0)，O(0，0)，所以MA2＝(x－2)2＋(y－0)2＝x2－4x＋y2＋4，MO2＝x2＋y2.又MA2＋MO2≤10，所以x2－4x＋y2＋4＋x2＋y2≤10，整理得x2－2x＋y2≤3，即(x－1)2＋y2≤4.又点M在圆C：(x＋1)2＋y2＝2上，所以联立得（x－1）2＋y2≤4，（x＋1）2＋y2＝2，得x≥－12，y2≤74，所以y∈－72，72.答案：－72，7210．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．直线OP的斜率k＝1，所以垂直于直线OP的直线为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝011．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径CD＝410，所以PA＝210，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.1．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．解析：如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：42．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.答案：23．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．解析：因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0.用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以所求圆的方程为x2＋y2＝81.答案：x2＋y2＝814．定义：若对于平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{}（x，y）|（x－x0）2＋（y－y0）2r⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：①{}（x，y）|x2＋y2＝1；②{}（x，y）|x＋y＋20；③{}（x，y）||x＋y|≤6；④{}（x，y）|0x2＋（y－2）21.其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析：集合{}（x，y）|（x－x0）2＋（y－y0）2r表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为圆上的动点，求d＝PA2＋PB2的最大值、最小值及对应的P点坐标．解：若设P(x0，y0)，则d＝PA2＋PB2＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x20＋y20的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，则wmin＝(OC－1)2＝16＝OP21，此时dmin＝2×16＋2＝34，P1125，165；wmax＝(OC＋1)2＝36＝OP22，此时dmax＝2×36＋2＝74，P2185，245.6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有a2＋b2＝8，ba＝－1⇒a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝2.由于点C(a，b)在第二象限，故a0，b0，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有（x－4）2＋y2＝16，（x＋2）2＋（y－2）2＝8，解之得x＝45或x＝0(舍去)．所以存在点Q45，125，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．