勾股定理的证明方法

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜勾股定理的证明方法篇一：勾股定理16种证明方法勾股定理的证明（看前5个就可以了）【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22，整理得a2?b2?c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.2??a?b∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.∴【证法3】（赵爽证明）?a?b?21?4?ab?c22222.∴a?b?c.page1of9以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.2??b?a∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.124?ab??b?a??c2∴2.∴a?b?c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.222∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.1精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?a?b?2∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1?a?b?2?2?1ab?1c222.∴2222∴a?b?c.邮箱：[e-mail]2of9【证法5】（辛卜松证明）DD设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为?a?b?2?a2?b2?2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为222∴a?b?2ab?2ab?c,222∴a?b?c.【证法6】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.A又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.邮箱：[e-mail]3of9?a?b?21?4?ab?c222=2ab?c.设多边形GHCBE的面积为S，则1a2?b2?S?2?ab,精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜21c2?S?2?ab2,∴a?b?c.【证法7】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90o，QP∥BC，∴∠MPC=90o，C∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90o，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法8】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点KL.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，12a∵ΔFAB的面积等于2222ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，page4of9∴矩形ADLM的面积=a.2同理可证，矩形MLEB的面积=b.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积222222∴c?a?b，即a?b?c.【证法9】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90o，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，2AC?AD?AB即.2精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BC?BD?AB.222222??AC?BC?AD?DB?AB?AB∴，即a?b?c.2【证法10】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.邮箱：[e-mail]5of9精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜篇二：勾股定理16种证明方法勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即a?b?4?2212，整理得a?b?c.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积2ab?c?4?21ab222精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜1等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的2正方形.它的面积等于c.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.2??a?b∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.ab2∴.∴a【证法3】（赵爽证明）?a?b?2?4?1ab?c2精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2?b?c22.page1of9以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.2??b?a∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.ab∴2.222∴a?b?c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜14?1ab??b?a??c22积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.E∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，1c2ab它的面积等于2.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.1∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于21?a?b?2精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜.22∴2.222∴a?b?c.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于?a?b?2?2?1ab?1c2邮箱：[e-mail]2of9点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜正方形∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.BA又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a?bc222?S?2?12ab12ab,?S?2?22∴a?b【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜它们拼