（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（四）函数的和、差、积、商的导数 苏教版选修

课时跟踪检测（四）函数的和、差、积、商的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．函数y＝sinx(cosx＋1)的导数是()A．cos2x－cosxB．cos2x＋sinxC．cos2x＋cosxD．cos2x＋cosx解析：选Cy′＝(sinx)′(cosx＋1)＋sinx(cosx＋1)′＝cosx(cosx＋1)＋sinx(－sinx)＝cos2x＋cosx.2．已知曲线y＝x22－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12解析：选A设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由y′＝x－3x，得k＝x0－3x0＝2，解得x0＝3.3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)等于()A．26B．29C．212D．215解析：选C∵f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2·…·a8.∵{an}为等比数列，a1＝2，a8＝4，∴f′(0)＝a1a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212.4．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.5．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则不等式f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C要使函数有意义，则x＞0，∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x，若f′(x)＞0，则2x2－2x－4x＞0，即x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1(舍去)，∴不等式f′(x)＞0的解集为(2，＋∞)，故选C.6．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解析：由y＝－5ex＋3，得y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.答案：5x＋y＋2＝07．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋1x，则f′(e)＝2f′(e)＋1e⇒f′(e)＝－1e.答案：－1e8．若曲线C1：y＝ax3－6x2＋12x与曲线C2：y＝ex在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为________．解析：因为y′＝3ax2－12x＋12，y′＝ex，所以两条曲线在x＝1处的切线斜率分别为k1＝3a，k2＝e，由k1·k2＝－1，得3ae＝－1，所以a＝－13e.答案：－13e9．求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e;(4)y＝x＋cosxx＋sinx.解：(1)法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′x＋sinx2＝1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosxx＋sinx2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1x＋sinx2.10．已知偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝52，c＝－92.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.二、综合能力提升1．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，∴f′(x)＝ex－m，∵曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，∴m＝2＋ex2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)2．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝a2x′＝－a2x2.∴过点P的切线方程为y－y0＝－a2x20(x－x0)．令x＝0，得y＝2a2x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·2a2x0·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.3．已知函数f(x)＝13x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．解：∵f(x)＝13x3－2x2＋ax，∴f′(x)＝x2－4x＋a.由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a＋1)＝0，∴a＝3.∴f′(x)＝x2－4x＋3＝－1.化为x2－4x＋4＝0.解得切点横坐标为x＝2，∴f(2)＝13×8－2×4＋2×3＝23.∴切线l的方程为y－23＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0.∴a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.