（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十八）离散型随机变量的方差和标准差 苏教

课时跟踪检测（二十八）离散型随机变量的方差和标准差[课下梯度提能]一、基本能力达标1．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m.令随机变量Z＝1，A发生，0，A发生，则Z的方差V(Z)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析：选D由题意知，E(Z)＝m，则V(Z)＝m(1－m)．2.若X的分布列如下表所示且E(X)＝1.1，则()X01xP0.2p0.3A．V(X)＝2B．V(X)＝0.51C．V(X)＝0.5D．V(X)＝0.49解析：选D0.2＋p＋0.3＝1，∴p＝0.5.又E(X)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，∴x＝2，∴V(X)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的数学期望与方差分别为()A．E(X)＝0，V(X)＝1B．E(X)＝12，V(X)＝12C．E(X)＝0，V(X)＝12D．E(X)＝12，V(X)＝1解析：选AE(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，V(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.4．若X～B(n，p)且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8解析：选C∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．∴np＝6，np1－p＝3⇒n＝12，p＝12.∴P(X＝1)＝C112·1211－1211＝3·2－10.5．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是()A．100,90B．100,180C．200,180D．200,360解析：选D由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B(1000,0.1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×1000×0.1＝200，方差为D(X)＝D(2ξ)＝22·D(ξ)＝4×1000×0.1×0.9＝360.6．已知X的概率分布为X123Pa0.10.6则V(X)＝________.解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.答案：0.817．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7所以V(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.答案：0.218．已知随机变量X～B(5,0.2)，Y＝2X－1，则E(Y)＝________，标准差VY＝________.解析：∵随机变量X～B(5,0.2)，Y＝2X－1，∴E(X)＝5×0.2＝1，V(X)＝5×0.2×0.8＝0.8.∴E(Y)＝2E(X)－1＝1，V(Y)＝4V(X)＝3.2，∴VY＝3.2＝455.答案：14559．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．解：∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．10．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6,9,12.X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(X＝6)＝C38C310＝715.X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(X＝9)＝C28C12C310＝715.X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P(X＝12)＝C18C22C310＝115.所以X的分布列如下表：X6912P715715115所以E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V(X)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.二、综合能力提升1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113解析：选Cx1，x2满足23x1＋13x2＝43，x1－432×23＋x2－432×13＝29，解得x1＝1，x2＝2或x1＝53，x2＝23.∵x1x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.2．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝13，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则V(X)的最小值等于()A．0B．1C．4D．2解析：选A由分布列的性质，得a＋13＝1，a＝23.∵E(X)＝2，∴m3＋2n3＝2.∴m＝6－2n.∴V(X)＝13×(m－2)2＋23×(n－2)2＝23×(n－2)2＋13×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，V(X)取最小值0.3．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．解：先求X的分布列．X＝0,1,2,3.X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P(X＝0)＝23！＝13；X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P(X＝1)＝33！＝12；X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P(X＝3)＝13！＝16.所以X的概率分布如下：X0123P1312016所以E(X)＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1，V(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.4．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复实验，每次摸出一球得白球的概率为p＝26＝13.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C12×13×1－13＝49.(2)设摸得白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝23，V(X)＝0－232×25＋1－232×815＋2－232×115＝1645.