（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十五）基本不等式及其应用 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（三十五）基本不等式及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x＞0，y＞0，且log2x＋log2y＝2，则1x＋2y的最小值为________．解析：∵x＞0，y＞0，且log2x＋log2y＝log2xy＝2，∴xy＝4，∴1x＋2y≥22xy＝2，当且仅当1x＝2y且xy＝4，即x＝2，y＝22时取等号，∴1x＋2y的最小值为2.答案：22．当x＞0时，f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则3a＋2b＋ba的最小值为________．解析：∵a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，∴3a＋2b＋ba＝3a1a＋1b＋2b1a＋1b＋ba＝5＋3ab＋3ba≥5＋29＝11，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴3a＋2b＋ba的最小值为11.答案：114．当3＜x＜12时，函数y＝x－－xx的最大值为________．解析：y＝x－－xx＝－x2＋15x－36x＝－x＋36x＋15≤－2x·36x＋15＝3.当且仅当x＝36x，即x＝6时，ymax＝3.答案：35．(2018·通州期末)若log4(a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．解析：∵log4(a＋4b)＝log2ab，∴log2a＋4b＝log2ab，a＋4b＞0，ab＞0.∴a＋4b＝ab，即a＋4b＝ab，∴1b＋4a＝1，∴a＋b＝(a＋b)1b＋4a＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．∴a＋b的最小值是9.答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x8元，则800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x＞0，y＞0，且x＋1x＋y＋4y≤9，则1x＋4y的最大值为________．解析：令x＋y＝n，1x＋4y＝m，∴m·n＝(x＋y)1x＋4y＝5＋yx＋4xy≥9.∴m·n≥9，m＋n≤9⇒9≥m＋n≥m＋9m.∴m2－9m＋9≤0，解得9－352≤m≤9＋352.∴1x＋4y的最大值为9＋352.答案：9＋3522．已知ab＝14，a，b∈(0,1)，则11－a＋21－b的最小值为________．解析：由题意得b＝14a，所以0＜14a＜1，即a∈14，1，得11－a＋21－b＝11－a＋8a4a－1＝11－a＋24a－1＋2.4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝11－a＋24a－1，则S＝44－4a＋24a－1＝13[(4－4a)＋(4a－1)]44－4a＋24a－1＝2＋234－4a4a－1＋a－4－4a≥2＋423，当且仅当4－4a4a－1＝a－4－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x＞0，y＞0，且2x＋4y＝4，则2x＋1y的最小值是________．解析：∵x＞0，y＞0，且2x＋4y＝4，∴4＝2x＋4y≥22x＋2y，即x＋2y≤2，∴2x＋1y≥122x＋1y(x＋2y)＝124＋4yx＋xy≥124＋24yx·xy＝4，当且仅当x＝2y时等号成立，∴2x＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为25，则ab的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝5，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2a·2b，可得ab≤92，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93m2，且高度不低于3m，记防洪堤横断面的腰长为xm，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为ym，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.解析：设横断面的高为h，由题意得AD＝BC＋2·x2＝BC＋x，h＝32x，所以93＝12(AD＋BC)h＝12(2BC＋x)·32x，故BC＝18x－x2，由h＝32x≥3，BC＝18x－x2＞0，得2≤x＜6，所以y＝BC＋2x＝18x＋3x2(2≤x＜6)，从而y＝18x＋3x2≥218x·3x2＝63，当且仅当18x＝3x2(2≤x＜6)，即x＝23时等号成立．答案：236．(2018·苏州期末)已知正数x，y满足x＋y＝1，则4x＋2＋1y＋1的最小值为________．解析：令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，所以4x＋2＋1y＋1＝4a＋1b＝14(a＋b)4a＋1b＝145＋4ba＋ab≥14(5＋4)＝94，当且仅当a＝83，b＝43，即x＝23，y＝13时取等号．则4x＋2＋1y＋1的最小值为94.答案：947．(2018·南通三模)若正实数x，y满足x＋y＝1，则yx＋4y的最小值是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以yx＋4y＝yx＋x＋yy＝yx＋4xy＋4≥2yx·4xy＋4＝8，当且仅当yx＝4xy，即x＝13，y＝23时取“＝”，所以yx＋4y的最小值是8.答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x，y满足x＋y＝xy，则3xx－1＋2yy－1的最小值为________．解析：∵x＋y＝xy，∴3xx－1＋2yy－1＝3xy－＋2yx－x－y－＝5xy－3x－2yxy－x－y＋1＝5x＋5y－3x－2yx＋y－x－y＋1＝2x＋3y.又∵x＋y＝xy可化为1y＋1x＝1，∴2x＋3y＝(2x＋3y)1y＋1x＝2xy＋3yx＋5≥22xy·3yx＋5＝26＋5，当且仅当2x2＝3y2时取等号，∴3xx－1＋2yy－1的最小值为26＋5.答案：26＋59．(1)当x＜32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0＜x＜2，求函数y＝x－2x的最大值．解：(1)y＝12(2x－3)＋82x－3＋32＝－3－2x2＋83－2x＋32.当x＜32时，有3－2x＞0，所以3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x＜2，所以2－x＞0，所以y＝x－2x＝2·x－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为2.10．(2019·泰州调研)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝4.(1)求xy的最大值及相应的x，y的值；(2)求9x＋3y的最小值及相应的x，y的值．解：(1)因为4＝2x＋y≥22xy⇒xy≤2，所以xy的最大值为2，当且仅当2x＝y＝2，即x＝1，y＝2时取“＝”．(2)因为9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝18，所以9x＋3y的最小值为18，当且仅当9x＝3y，即2x＝y＝2⇒x＝1，y＝2时取“＝”．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tanα＋3tan2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tanα＞0，∴2tanα＋3tan2α＝2tanα＋－tan2α2tanα＝32tanα＋tanα2≥232tanα·tanα2＝3，当且仅当tanα＝3，即α＝π3时取得等号，∴2tanα＋3tan2α的最小值为3.答案：32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为________．解析：法一：由x＋y＋4＝2xy≤x＋y22得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.原不等式整理可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4，则t2－at＋1≥0，t∈[4，＋∞)(*)恒成立，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，(*)式恒成立；当a＜－2时，对称轴t＝a2＜－1，(*)式恒成立；当a＞2时，对称轴t＝a2，要使(*)式恒成立，则a2＜4，且16－4a＋1≥0，得2＜a≤174.综上可得(*)式恒成立时，a≤174，则实数a的取值范围是－∞，174.法二：由x＋y＋4＝2xy≤x＋y22得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.原不等式整理可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4，则t2－at＋1≥0，t∈[4，＋∞)(*)恒成立，则a≤t＋1tmin＝174，故实数a的取值范围是－∞，174.答案：－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－250，0＜x＜80，1200－x＋10000x，x≥80.(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000.此时x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于950＜1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．