（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及其线性运算 理（含解析

课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB―→＋AD―→＝λAO―→，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，AB―→＋AD―→＝AC―→＝2AO―→，故λ＝2.答案：22．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC―→＝23OA―→＋13OB―→，则|AC―→||AB―→|＝________.解析：因为OC―→＝23OA―→＋13OB―→，所以AC―→＝OC―→－OA―→＝－13OA―→＋13OB―→＝13(OB―→－OA―→)，所以AC―→＝13AB―→，所以|AC―→||AB―→|＝13.答案：133．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若AB―→＝λAE―→＋μAD―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得AE―→＝AB―→＋12AD―→，所以AB―→＝AE―→－12AD―→，又AB―→＝λAE―→＋μAD―→，所以λ＝1，μ＝－12，则λ＋μ＝12.答案：124．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且AN―→＝12NC―→，P是BN上一点，若AP―→＝mAB―→＋29AC―→，则实数m的值是________．解析：如图，因为AN―→＝12NC―→，P是BN―→上一点．所以AN―→＝13AC―→，AP―→＝mAB―→＋29AC―→＝mAB―→＋23AN―→，因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，则m＝13.答案：135．(2019·张家港模拟)如图所示，向量OA―→，OB―→，OC―→的终点A，B，C在一条直线上，且AC―→＝－3CB―→，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，若c＝ma＋nb，则m－n＝________.解析：由向量OA―→，OB―→，OC―→的终点A，B，C在一条直线上，且AC―→＝－3CB―→，得OC―→＝OA―→＋AC―→＝OA―→－3CB―→＝OA―→－3(CO―→＋OB―→)，即OC―→＝OA―→＋3OC―→－3OB―→，则c＝－12a＋32b.又c＝ma＋nb，所以m＝－12，n＝32，所以m－n＝－2.答案：－26．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标1．已知△ABC和点M满足MA―→＋MB―→＋MC―→＝0.若存在实数m，使得AB―→＋AC―→＝mAM―→成立，则m＝________.解析：由MA―→＋MB―→＋MC―→＝0得点M是△ABC的重心，可知AM―→＝13(AB―→＋AC―→)，即AB―→＋AC―→＝3AM―→，则m＝3.答案：32．(2019·江阴期中)若a，b不共线，且a＋mb与2a－b共线，则实数m的值为________．解析：∵a＋mb与2a－b共线，∴存在实数k，使得a＋mb＝k(2a－b)＝2ka－kb，又a，b不共线，∴1＝2k，m＝－k，解得m＝－12.答案：－123．下列四个结论：①AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；②AB―→＋MB―→＋BO―→＋OM―→＝0；③AB―→－AC―→＋BD―→－CD―→＝0；④NQ―→＋QP―→＋MN―→－MP―→＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：①AB―→＋BC―→＋CA―→＝AC―→＋CA―→＝0，①正确；②AB―→＋MB―→＋BO―→＋OM―→＝AB―→＋MO―→＋OM―→＝AB―→，②错；③AB―→－AC―→＋BD―→－CD―→＝CB―→＋BD―→＋DC―→＝CB―→＋BC―→＝0，③正确；④NQ―→＋QP―→＋MN―→－MP―→＝NP―→＋PN―→＝0，④正确．故正确的结论个数为3.答案：34．(2018·南汇中学检测)已知△ABC中，点D在BC边上，且CD―→＝2DB―→，CD―→＝rAB―→＋sAC―→，则r＋s＝________.解析：如图，因为CD―→＝2DB―→，所以CD―→＝23CB―→.又因为CB―→＝AB―→－AC―→，所以CD―→＝23AB―→－23AC―→.又CD―→＝rAB―→＋sAC―→，所以r＝23，s＝－23，所以r＋s＝0.答案：05．(2018·海安中学检测)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB―→＝a，AC―→＝b，则AD―→＝________(用a，b表示)．解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD―→＝12AB―→＝12a，所以AD―→＝AC―→＋CD―→＝b＋12a.答案：12a＋b6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若DE―→＝mAB―→＋nAD―→，则m＋n的值为________．解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，所以DE―→＝12(DA―→＋DO―→)＝12DA―→＋14DB―→＝－12AD―→＋14AB―→－14AD―→＝14AB―→－34AD―→，又DE―→＝mAB―→＋nAD―→，所以m＝14，n＝－34，故m＋n＝14－34＝－12.答案：－127．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC―→2＝16，|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|，则|AM―→|＝________.解析：由|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|可知，AB―→⊥AC―→，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM―→|＝12|BC―→|＝2.答案：28．(2019·启东期中)在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足AD―→＝34AB―→，AM―→＝AD―→＋35BC―→，则S△AMDS△ABC＝________.解析：如图，∵AD―→＝34AB―→，AM―→＝AD―→＋35BC―→，AM―→＝AD―→＋DM―→，∴AD＝34AB，DM＝35BC，且DM∥BC，∴S△AMDS△ABC＝34×35＝920.答案：9209．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把OB―→分成2∶1的一个三等分点，DC交OA于点E，设OA―→＝a，OB―→＝b.(1)用a和b表示向量OC―→，DC―→；(2)若OE―→＝λOA―→，求实数λ的值．解：(1)依题意，A是BC的中点，所以2OA―→＝OB―→＋OC―→，即OC―→＝2OA―→－OB―→＝2a－b，DC―→＝OC―→－OD―→＝OC―→－23OB―→＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)若OE―→＝λOA―→，则CE―→＝OE―→－OC―→＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.因为CE―→与DC―→共线．所以存在实数k，使CE―→＝kDC―→.即(λ－2)a＋b＝k2a－53b，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以λ－2＝2k，1＝－53k，解得k＝－35，λ＝45.10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB―→＝2e1－8e2，CB―→＝e1＋3e2，CD―→＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF―→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得BD―→＝CD―→－CB―→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，因为AB―→＝2e1－8e2，所以AB―→＝2BD―→.又因为AB―→与BD―→有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)由(1)可知BD―→＝e1－4e2，因为BF―→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以BF―→＝λBD―→(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得λ＝3，－k＝－4λ.解得k＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若OC―→＝xOA―→＋yOB―→，则x＋y的取值范围是________．解析：由于A，B，D三点共线，设AD―→＝αAB―→，则OD―→＝OA―→＋AD―→＝OA―→＋αAB―→＝OA―→＋α(OB―→－OA―→)＝(1－α)OA―→＋αOB―→.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，OC―→与OD―→方向相反，则存在λ＜－1，使得OC―→＝λOD―→＝λ[(1－α)·OA―→＋αOB―→]＝λ(1－α)OA―→＋λαOB―→＝xOA―→＋yOB―→，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1.答案：(－∞，－1)2．已知O，A，B是不共线的三点，且OP―→＝mOA―→＋nOB―→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP―→＝mOA―→＋(1－m)OB―→＝OB―→＋m(OA―→－OB―→)，所以OP―→－OB―→＝m(OA―→－OB―→)，即BP―→＝mBA―→，所以BP―→与BA―→共线．又因为BP―→与BA―→有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP―→＝λBA―→，所以OP―→－OB―→＝λ(OA―→－OB―→)．又OP―→＝mOA―→＋nOB―→.故有mOA―→＋(n－1)OB―→＝λOA―→－λOB―→，即(m－λ)OA―→＋(n＋λ－1)OB―→＝0.因为O，A，B不共线，所以OA―→，OB―→不共线，所以m－λ＝0，n＋λ－1＝0，所以m＋n＝1.