（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 理（含解析）

课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·海门模拟)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．解析：∵向量a＝(3,4)，b＝(1，－1)，∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|＝3×1＋－12＋－2＝－22.答案：－222．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a，b的夹角为2π3，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||ba，b＝8，所以4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2018·苏州期末)已知a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与b的夹角是________．解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，∴m2＋4＝16,1＋n2＝4，解得m＝23，n＝3.∴a·b＝m＋2n＝43＝4×2×cosθ，∴cosθ＝32，则向量a与b的夹角是π6.答案：π64．(2018·滨海期末)已知向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，若a⊥b，则|2a＋b|＝________.解析：∵向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，a⊥b，∴a·b＝－3＋3t＝0，解得t＝1，∴b＝(3,1)，2a＋b＝(1,7)，故|2a＋b|＝1＋49＝52.答案：525．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则AB―→·AC―→＝________.解析：由题意得AC―→＝AB―→＋AD―→，所以AB―→·AC―→＝AB―→·(AB―→＋AD―→)＝AB―→2＋AB―→·AD―→＝4＋2×1×cos120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，BD―→＝12BC―→，AE―→＝13AC―→，AD与BE交于点P，则PB―→·PD―→的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，33)，E(1,23)，P0，332，所以PB―→·PD―→＝|PD―→|2＝3322＝274.答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝________.解析：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝1＋x2＝4＝2.答案：22．(2019·如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(3,4)，|b|＝1，则|a－2b|＝________.解析：∵a＝(3,4)，∴|a|＝32＋42＝5，又|b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos60°＝5×1×12＝52，∴|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝25＋4－10＝19，则|a－2b|＝19.答案：193．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－12a2＝－12b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52a2，|2a－b|＝a－b2＝5a2－4a·b＝7|a|，cos〈a,2a－b〉＝aa－b|a|·|2a－b|＝52a2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6，则PB―→·PD―→＝________.解析：由题意可得PB―→·PD―→＝(PA―→＋AB―→)·(PA―→＋AD―→)＝PA―→2＋PA―→·AD―→＋AB―→·PA―→＋AB―→·AD―→＝9＋PA―→·(AD―→＋AB―→)＋0＝9＋PA―→·AC―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC)＝9－18×PA2＋AC2－PC22×PA×AC＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝π3，点P满足AP―→＝λAB―→，λ∈R，若BD―→·CP―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA―→·BC―→＝2×2cosπ3＝2，BD―→·CP―→＝(BA―→＋BC―→)·(BP―→－BC―→)＝(BA―→＋BC―→)·[(AP―→－AB―→)－BC―→]＝(BA―→＋BC―→)·[(λ－1)·AB―→－BC―→]＝(1－λ)BA―→2－BA―→·BC―→＋(1－λ)BA―→·BC―→－BC―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，D(－1，3)．令P(x,0)，由BD―→·CP―→＝(－3，3)·(x－1，－3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.因为AP―→＝λAB―→，所以λ＝12.答案：126．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB―→·AD―→＝－7，则BC―→·DC―→＝________.解析：BC―→·DC―→＝(OC―→－OB―→)·(OC―→－OD―→)＝(OC―→＋OD―→)·(OC―→－OD―→)＝OC―→2－OD―→2，同理，AB―→·AD―→＝AO―→2－OD―→2＝－7，所以BC―→·DC―→＝OC―→2－OD―→2＝OC―→2－AO―→2－7＝9.答案：97．(2019·崇川一模)若非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝2，|b|＝1，∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，即a·b＝－12|b|2＝－12×12＝－12，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－122×1＝－14，∴向量a与b夹角的余弦值为－14.答案：－148．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD中，A＝π3，AB＝2，AD＝3，分别延长CB，CD至点E，F，使得CE―→＝λCB―→，CF―→＝λCD―→，其中λ＞0，若EF―→·AD―→＝15，则λ的值为________．解析：∵EF―→＝CF―→－CE―→＝λCD―→－λCB―→＝λBD―→＝λ(AD―→－AB―→)，∴EF―→·AD―→＝λ(AD―→－AB―→)·AD―→＝λ(AD―→2－AB―→·AD―→)＝λ(9－3)＝15，∴λ＝52.答案：529．(2019·通州调研)设两个向量a，b不共线．(1)若AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)若|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k的值．解：(1)证明：∵AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝(a＋b)＋(2a＋8b)＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6AB―→，∴AD―→与AB―→共线，且有公共点A，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb垂直，∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，∴ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0，即3k2＋13k＋3＝0，解得k＝－13±1336.10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP―→＝2PD―→.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP―→·BP―→的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP―→·BP―→＝6，求AB―→与AD―→夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB―→⊥AD―→，即AB―→·AD―→＝0，又AB＝9，BC＝6，CP―→＝2PD―→，所以AP―→＝AD―→＋DP―→＝AD―→＋13AB―→，BP―→＝BC―→＋CP―→＝AD―→－23AB―→，所以AP―→·BP―→＝AD―→＋13AB―→·AD―→－23AB―→＝AD―→2－13AB―→·AD―→－29AB―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB―→与AD―→的夹角为θ，由(1)得，AP―→·BP―→＝AD―→＋13AB―→·AD―→－23AB―→＝AD―→2－13AB―→·AD―→－29AB―→2＝62－13×9×6×cosθ－29×92＝6，所以cosθ＝23.故AB―→与AD―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若OP―→·OA―→＝2，则OP―→·AB―→＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由OP―→·OA―→＝2，可得2x＝2，x＝1，P为AB上的一点，所以|OP―→|＝2，所以P(1，3)，OP―→＝(1，3)，又AB―→＝(－2,2)，所以OP―→·AB―→＝－2＋23.答案：－2＋232．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||AB―→＝3，||AC―→＝5，则(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)的值为________．解析：法一：因为AP―→＝AQ―→＋QP―→，所以AP―→＋AQ―→＝2AQ―→＋QP―→，而AB―→－AC―→＝CB―→，由于QP―→⊥CB―→，所以QP―→·CB―→＝0，所以(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)＝(2AQ―→＋QP―→)·CB―→＝2AQ―→·CB―→，又因为Q是BC的中点，所以2AQ―→＝AB―→＋AC―→，故2AQ―→·CB―→＝(AB―→＋AC―→)·(AB―→－AC―→)＝AB―→2－AC―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|AB―→|＝3，|AC―→|＝5，所以|BC―→|＝4，cos∠BAC＝35，故AP―→＋AQ―→＝12AC―→＋12(AB―→＋AC―→)＝12AB―→＋AC―→，从而(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)＝12AB―→＋AC―→·(AB―→－AC―→)＝12AB―→2＋12AB―→·AC―→－AC―→2＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16.答案：－163．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝35.(1)求sinA的值；(2)若a＝42，b＝5，AD⊥BC于D，求BA―→·AD―→的值．解：(1)由m·n＝35，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)·sinB＝35，所以cosA＝35.因为0＜A＜π2，所以sinA＝1－cos2A＝45.(2)由正弦定理，得asinA＝bsinB，则sinB＝bsinAa＝5×4542＝22.因为0＜B＜π2，所以B＝π4，所以sinC＝sin(A＋B)＝22(sinA＋cosA)＝7210.又|AD―→|＝|AC―→|sinC＝5×7210＝722，所以BA―→·AD―→＝(BD―→＋DA―→)·AD―→＝－AD―→2＝－|AD―→|2＝－492.