（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十六）平面向量的基本定理及坐标表示 理（含解

课时跟踪检测（二十六）平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通检测)已知点A(－1,2)，B(2,8)．若AC―→＝－13BA―→，AD―→＝23AB―→，则CD―→的坐标为________．解析：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴BA―→＝(－3，－6)，则AC―→＝－13BA―→＝(1,2)，AD―→＝23AB―→＝(2,4)，∴CD―→＝AD―→－AC―→＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．答案：(1,2)2．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，所以c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.答案：43．(2018·苏州中学测试)已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，AP―→＝AB―→＋tAC―→(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P(x，y)，则由AP―→＝AB―→＋tAC―→(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以x－2＝1＋t，y－1＝4＋t，解得x＝3＋t，y＝5＋t，由点P在第二象限，得x＝3＋t＜0，y＝5＋t＞0，所以－5＜t＜－3.答案：(－5，－3)4．(2018·苏州期末)已知向量AB―→＝(m,5)，AC―→＝(4，n)，BC―→＝(7,6)，则m＋n的值为________．解析：∵向量AB―→＝(m,5)，AC―→＝(4，n)，∴BC―→＝AC―→－AB―→＝(4－m，n－5)，又BC―→＝(7,6)，∴4－m＝7，n－5＝6，解得m＝－3，n＝11，∴m＋n＝8.答案：85．(2019·启东月考)已知向量a＝8，12x，b＝(x,1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．解析：a－2b＝8－2x，12x－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由(a－2b)∥(2a＋b)，得(8－2x)(x＋1)＝12x－2(16＋x)，解得x＝4(负值舍去)．答案：46．(2018·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，5)，则|AP―→＋BP―→＋OP―→|的取值范围是________．解析：因为AB＝2，所以AB的中点M在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如图所示)，则|AP―→＋BP―→＋OP―→|＝|2MP―→＋OP―→|，当M点为射线OP与圆的交点时，|2MP―→＋OP―→|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|2MP―→＋OP―→|的最大值为11，所以|AP―→＋BP―→＋OP―→|的取值范围是[7,11]．答案：[7,11]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以23＋x＝0，12＋y＝0，解得x＝－23，y＝－12，所以c＝(－23，－12)．答案：(－23，－12)2．已知A(－3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC―→＝λOA―→＋OB―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA―→＝(－3,0)，OB―→＝(0，3)，则OC―→＝(－3λ，3)，由∠AOC＝30°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1.答案：13．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若AP―→＝AB―→＋λAC―→(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ＝________.解析：设P(x，y)，则由AP―→＝AB―→＋λAC―→，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－234．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC―→＝a，BD―→＝b，则AF―→＝________(用a，b表示)．解析：如图，因为AC―→＝a，BD―→＝b，所以AD―→＝AO―→＋OD―→＝12AC―→＋12BD―→＝12a＋12b.因为E是OD的中点，所以|DE||EB|＝13，所以|DF|＝13|AB|.所以DF―→＝13AB―→＝13(OB―→－OA―→)＝13×－12BD―→－－12AC―→＝16AC―→－16BD―→＝16a－16b，所以AF―→＝AD―→＋DF―→＝12a＋12b＋16a－16b＝23a＋13b.答案：23a＋13b5．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝25，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝(x，y)，因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝25，且a∥c，可得2x＝y，并且x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4或x＝－2，y＝－4.所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．答案：(2,4)或(－2，－4)6．(2018·白蒲中学高三期末)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以－x＋y＝2，x＋2y＝4，即x＝0，y＝2.所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)7．(2018·溧水高级中学测试)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若OC―→＝mOA―→＋nOB―→，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意得，OC―→＝kOD―→(k＜0)，又|k|＝|OC―→||OD―→|＜1，所以－1＜k＜0.又因为B，A，D三点共线，所以OD―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→，所以mOA―→＋nOB―→＝kλOA―→＋k(1－λ)OB―→，所以m＝kλ，n＝k(1－λ)，所以m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．答案：(－1,0)8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝AO―→＝(－1,1)，b＝OB―→＝(6,2)，c＝BC―→＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：49．(2019·淮安一模)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若AB―→＝2a＋3b，BC―→＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－12.(2)∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AB―→＝λBC―→，即2a＋3b＝λ(a＋mb)＝λa＋λmb，又a与b不共线，∴2＝λ，3＝λm，解得m＝32.10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)，a∥AB―→.(1)若|AB―→|＝5|OA―→|，求向量OB―→的坐标；(2)求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．解：(1)因为AB―→＝(cosθ－1，t)，又a∥AB―→，所以2t－cosθ＋1＝0.所以cosθ＝2t＋1.①又因为|AB―→|＝5|OA―→|，所以(cosθ－1)2＋t2＝5.②由①②得，5t2＝5，所以t2＝1.所以t＝±1.当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，所以B(－1，－1)，所以OB―→＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t＝cosθ－12，所以y＝cos2θ－cosθ＋osθ－24＝54cos2θ－32cosθ＋14＝54cos2θ－65cosθ＋14＝54cosθ－352－15，所以，当cosθ＝35时，ymin＝－15.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，AP―→＝AD―→＋18BC―→，则△APD的面积为________．解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE―→＝12(AB―→＋AC―→)，又AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，所以点D是AE的中点，AD＝3.取AF―→＝18BC―→，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP―→＝AD―→＋18BC―→＝AD―→＋AF―→.而△APD是直角三角形，AF＝12，所以△APD的面积为12×12×3＝34.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形ABC的边长为4，所以B(－2，－23)，C(2，－23)，由题知AD―→＝14(AB―→＋AC―→)＝14[(－2，－23)＋(2，－23)]＝(0，－3)，AP―→＝AD―→＋18BC―→＝(0，－3)＋18(4,0)＝12，－3，所以△ADP的面积为S＝12|AD―→|·|DP―→|＝12×3×12＝34.答案：342．(2018·启东中学检测)在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→成立，此时称实数λ为“向量OC―→关于OA―→和OB―→的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3―→与向量a＝(1，－1)共线，则“向量OP3―→关于OP1―→和OP2―→的终点共线分解系数”为________．解析：设OP3―→＝(x，y)，则由OP3―→∥a，知x＋y＝0，于是OP3―→＝(x，－x)，设OP3―→＝λOP1―→＋(1－λ)OP2―→，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即4λ－1＝x，3－2λ＝－x，于是4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.答案：－13．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以OA―→＝BC―→，即(a,0)＝(2,2－b)，a＝2，2－b＝0，解得a＝2，b＝2.故a＝2，b＝2.(2)因为AB―→＝(－a，b)，BC―→＝(2,2－b)，由A，B，C三点共线，得AB―→∥BC―→，所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，因为a＞0，b＞0，所以2(a＋b)＝ab≤a＋b22，即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8