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课时跟踪检测(二十九)等差数列一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5S3=3,则a5a3的值为________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,则由S5S3=3,得5a1+10d3a1+3d=3,所以d=4a1,所以a5a3=a1+4da1+2d=17a19a1=179.答案:1792.(2019·常州一中检测)在等差数列{}an中,若a2+a12=4,则a2+a7+a12=________.解析:∵a2+a12=2a7=4,∴a7=2.则a2+a7+a12=3a7=6.答案:63.(2018·徐州期中)已知等差数列{}an的前n项和为Sn,S11=132,a6+a9=30,则a12的值为________.解析:在等差数列{}an中,设首项为a1,公差为d,由S11=132,a6+a9=30,得11a1+11×102d=132,2a1+13d=30,解得a1=d=2.∴a12=a1+11d=24.答案:244.(2018·苏州质量监测)已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k=________.解析:3an+1=3an-2⇒an+1=an-23⇒{an}是等差数列,则an=473-23n.因为ak+1·ak<0,所以473-23k453-23k<0,所以452<k<472,又因为k∈N*,所以k=23.答案:235.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为________.解析:因为a4+a7=a5+a6<0,a5>0,所以a5>0,a6<0,所以Sn的最大值为S5.答案:S56.(2018·无锡期末)在等差数列{}an中,若an>0,a4=5,则1a2+9a6的最小值为________.解析:∵在等差数列{}an中,an>0,a4=5,∴a2+a6=2a4=10,∴1a2+9a6=1101a2+9a6(a2+a6)=1109a2a6+a6a2+10≥11029a2a6·a6a2+10=85,当且仅当9a2a6=a6a2时取等号.故1a2+9a6的最小值为85.答案:85二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年~前1000年)有这样一个数学问题:10兄弟分100个金币,哥哥比弟弟依次多分.已知每一个级差相等,还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数).问:老三应该分得________个金币.解析:∵10兄弟分100个金币,哥哥比弟弟依次多分,每一个级差相等,老八分得6个金币,∴可将其看作一个等差数列,∴S10=10a1+10×92d=100,a8=a1+7d=6,解得a1=865,d=-85,∴a3=a1+2d=865-165=14,即老三应该分得14个金币.答案:142.数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=________.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1,当n=1时,a1=S1=5,符合上式,所以an=4n+1,ap-aq=4(p-q)=20.答案:203.(2018·苏州期末)已知{an}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{an}的第n项到第n+5项的和为Tn,则|Tn|取得最小值时n的值为________.解析:由a5=15,a10=-10得an=-5n+40,an+5=-5n+15,Tn=an+an+52=15(11-2n),当11-2n=±1时,即n=5或6时,|Tn|取最小值15.答案:5或64.(2019·泰州模拟)设等差数列{}an的前n项和为Sn,且S4=4,S12=24,则S8=________.解析:由等差数列的性质可得,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-4)=4+24-S8,解得S8=12.答案:125.设数列{an}的前n项和为Sn,若SnS2n为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则数列{bn}的通项公式为________.解析:设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),SnS2n=k,因为b1=1,则n+12n(n-1)d=k2n+12×2nn-d,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.答案:bn=2n-16.(2019·扬州模拟)已知等差数列{}an的前n项和为Sn,且S13=6,则3a9-2a10=________.解析:由S13=6,得a1+a132=13a7=6,∴a7=613,∴3a9-2a10=3(a1+8d)-2(a1+9d)=a1+6d=a7=613.答案:6137.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得d<0,a8>0,a9<0,即d<0,7+7d>0,7+8d<0,解得-1<d<-78.答案:-1,-788.(2019·启东中学模拟)若等差数列{}an的首项为a1,公差为d,关于x的不等式d2x2+a1-d2x+c≥0的解集为[0,10],则使数列{}an的前n项和Sn最大的正整数n的值是________.解析:∵关于x的不等式d2x2+a1-d2x+c≥0的解集为[0,10],∴d2<0,0+10=-a1-d2d2,0×10=cd2,解得d<0,c=0,a1=-9d2.an=a1+(n-1)d=-9d2+(n-1)d=dn-112,令an≥0,解得n≤112,因此使数列{}an的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.答案:59.(2018·启东期末)已知等差数列{}an的前n项和为Sn,且a3=7,a5+a7=26.(1)求an及Sn;(2)令bn=Snn(n∈N*),求证:数列{}bn为等差数列.解:(1)设等差数列的首项为a1,公差为d,∵a3=7,a5+a7=26.∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2,∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,Sn=na1+an2=n[3+n+2=n(n+2).(2)证明:∵bn=Snn=nn+n=n+2,bn+1-bn=n+3-(n+2)=1.∴数列{}bn为等差数列.10.(2018·南京、盐城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1-Snn,(n+2)cn=an+1+an+22-Snn,其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.解:(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列,所以an=a1+2(n-1),Snn=a1+n-1.因为(n+2)cn=a1+2n+a1+n+2-(a1+n-1)=n+2,所以cn=1.(2)证明:由(n+1)bn=an+1-Snn,得n(n+1)bn=nan+1-Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,两式相减,并化简得an+2-an+1=(n+2)bn+1-nbn.从而(n+2)cn=an+1+an+22-Snn=an+1+an+22-[an+1-(n+1)bn]=an+2-an+12+(n+1)bn=n+bn+1-nbn2+(n+1)bn=n+22(bn+bn+1),因此cn=12(bn+bn+1).因为对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,所以λ≤cn=12(bn+bn+1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.所以(n+1)λ=an+1-Snn,①(n+2)λ=12(an+1+an+2)-Snn,②②-①得12(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ,故an+1-an=2λ(n≥2).又2λ=a2-S11=a2-a1,则an+1-an=2λ(n≥1).所以数列{an}是等差数列.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3=5,且S1,S5,S7成等差数列,则数列{an}的通项公式an=________.解析:设等差数列{an}的公差为d,因为S1,S5,S7成等差数列,所以S1+S7=2S5,则a1+7a1+21d=2(5a1+10d),解得d=2a1,因为a3=5,所以a1=1,d=2,所以an=2n-1.答案:2n-12.(2019·苏州高三期中调研)已知数列{an},{bn}满足a1=12,an+bn=1,bn+1=1an+1(n∈N*),则b1·b2·…·b2018=________.解析:由an+bn=1,得an+1+bn+1=1,即bn+1=1-an+1,把bn+1=1-an+1代入bn+1=11+an,化简可得1an+1-1an=1,所以1an是首项为2,公差为1的等差数列,可得数列{an}的通项公式为an=1n+1,所以数列{bn}的通项公式为bn=nn+1,所以b1·b2·…·b2018=12019.答案:120193.(2018·南京学情调研)已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2·a3=15,S4=16.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}满足b1=a1,bn+1-bn=1anan+1.①求数列{bn}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设数列{an}的公差为d,则d>0.由a2·a3=15,S4=16,得a1+da1+2d=15,4a1+6d=16,解得a1=1,d=2或a1=7,d=-2(舍去).所以an=2n-1.(2)①因为b1=a1=1,bn+1-bn=1anan+1=12n-12n+1=1212n-1-12n+1,即b2-b1=121-13,b3-b2=1213-15,…bn-bn-1=1212n-3-12n-1,n≥2,累加得bn-b1=121-12n-1=n-12n-1,所以bn=b1+n-12n-1=1+n-12n-1=3n-22n-1.又b1=1也符合上式,故bn=3n-22n-1,n∈N*.②假设存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列,则b2+bn=2bm.又b2=43,bn=3n-22n-1=32-14n-2,bm=32-14m-2,所以43+32-14n-2=232-14m-2,即12m-1=16+14n-2,化简得2m=7n-2n+1=7-9n+1.当n+1=3,即n=2时,m=2(舍去);当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.所以存在正整数m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差数列.
本文标题:(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测(二十九)等差数列 理(含解析)苏教版
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