（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十九）等差数列 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（二十九）等差数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5S3＝3，则a5a3的值为________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，则由S5S3＝3，得5a1＋10d3a1＋3d＝3，所以d＝4a1，所以a5a3＝a1＋4da1＋2d＝17a19a1＝179.答案：1792．(2019·常州一中检测)在等差数列{}an中，若a2＋a12＝4，则a2＋a7＋a12＝________.解析：∵a2＋a12＝2a7＝4，∴a7＝2.则a2＋a7＋a12＝3a7＝6.答案：63．(2018·徐州期中)已知等差数列{}an的前n项和为Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，则a12的值为________．解析：在等差数列{}an中，设首项为a1，公差为d，由S11＝132，a6＋a9＝30，得11a1＋11×102d＝132，2a1＋13d＝30，解得a1＝d＝2.∴a12＝a1＋11d＝24.答案：244．(2018·苏州质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝________.解析：3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－23⇒{an}是等差数列，则an＝473－23n.因为ak＋1·ak＜0，所以473－23k453－23k＜0，所以452＜k＜472，又因为k∈N*，所以k＝23.答案：235．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．解析：因为a4＋a7＝a5＋a6＜0，a5＞0，所以a5＞0，a6＜0，所以Sn的最大值为S5.答案：S56．(2018·无锡期末)在等差数列{}an中，若an＞0，a4＝5，则1a2＋9a6的最小值为________．解析：∵在等差数列{}an中，an＞0，a4＝5，∴a2＋a6＝2a4＝10，∴1a2＋9a6＝1101a2＋9a6(a2＋a6)＝1109a2a6＋a6a2＋10≥11029a2a6·a6a2＋10＝85，当且仅当9a2a6＝a6a2时取等号．故1a2＋9a6的最小值为85.答案：85二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，∴可将其看作一个等差数列，∴S10＝10a1＋10×92d＝100，a8＝a1＋7d＝6，解得a1＝865，d＝－85，∴a3＝a1＋2d＝865－165＝14，即老三应该分得14个金币．答案：142．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝________.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，所以an＝4n＋1，ap－aq＝4(p－q)＝20.答案：203．(2018·苏州期末)已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为________．解析：由a5＝15，a10＝－10得an＝－5n＋40，an＋5＝－5n＋15，Tn＝an＋an＋52＝15(11－2n)，当11－2n＝±1时，即n＝5或6时，|Tn|取最小值15.答案：5或64．(2019·泰州模拟)设等差数列{}an的前n项和为Sn，且S4＝4，S12＝24，则S8＝________.解析：由等差数列的性质可得，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－4)＝4＋24－S8，解得S8＝12.答案：125．设数列{an}的前n项和为Sn，若SnS2n为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为________．解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，SnS2n＝k，因为b1＝1，则n＋12n(n－1)d＝k2n＋12×2nn－d，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝14.所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.答案：bn＝2n－16．(2019·扬州模拟)已知等差数列{}an的前n项和为Sn，且S13＝6，则3a9－2a10＝________.解析：由S13＝6，得a1＋a132＝13a7＝6，∴a7＝613，∴3a9－2a10＝3(a1＋8d)－2(a1＋9d)＝a1＋6d＝a7＝613.答案：6137．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得d＜0，a8＞0，a9＜0，即d＜0，7＋7d＞0，7＋8d＜0，解得－1＜d＜－78.答案：－1，－788．(2019·启东中学模拟)若等差数列{}an的首项为a1，公差为d，关于x的不等式d2x2＋a1－d2x＋c≥0的解集为[0,10]，则使数列{}an的前n项和Sn最大的正整数n的值是________．解析：∵关于x的不等式d2x2＋a1－d2x＋c≥0的解集为[0,10]，∴d2＜0,0＋10＝－a1－d2d2，0×10＝cd2，解得d＜0，c＝0，a1＝－9d2.an＝a1＋(n－1)d＝－9d2＋(n－1)d＝dn－112，令an≥0，解得n≤112，因此使数列{}an的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.答案：59．(2018·启东期末)已知等差数列{}an的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.(1)求an及Sn；(2)令bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{}bn为等差数列．解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a3＝7，a5＋a7＝26.∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝na1＋an2＝n[3＋n＋2＝n(n＋2)．(2)证明：∵bn＝Snn＝nn＋n＝n＋2，bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1.∴数列{}bn为等差数列．10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－Snn，(n＋2)cn＝an＋1＋an＋22－Snn，其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．解：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a1＋2(n－1)，Snn＝a1＋n－1.因为(n＋2)cn＝a1＋2n＋a1＋n＋2－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－Snn，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.从而(n＋2)cn＝an＋1＋an＋22－Snn＝an＋1＋an＋22－[an＋1－(n＋1)bn]＝an＋2－an＋12＋(n＋1)bn＝n＋bn＋1－nbn2＋(n＋1)bn＝n＋22(bn＋bn＋1)，因此cn＝12(bn＋bn＋1)．因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝12(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.所以(n＋1)λ＝an＋1－Snn，①(n＋2)λ＝12(an＋1＋an＋2)－Snn，②②－①得12(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，故an＋1－an＝2λ(n≥2)．又2λ＝a2－S11＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．所以数列{an}是等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1＋S7＝2S5，则a1＋7a1＋21d＝2(5a1＋10d)，解得d＝2a1，因为a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.答案：2n－12．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝12，an＋bn＝1，bn＋1＝1an＋1(n∈N*)，则b1·b2·…·b2018＝________.解析：由an＋bn＝1，得an＋1＋bn＋1＝1，即bn＋1＝1－an＋1，把bn＋1＝1－an＋1代入bn＋1＝11＋an，化简可得1an＋1－1an＝1，所以1an是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{an}的通项公式为an＝1n＋1，所以数列{bn}的通项公式为bn＝nn＋1，所以b1·b2·…·b2018＝12019.答案：120193．(2018·南京学情调研)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝1anan＋1.①求数列{bn}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0.由a2·a3＝15，S4＝16，得a1＋da1＋2d＝15，4a1＋6d＝16，解得a1＝1，d＝2或a1＝7，d＝－2(舍去)．所以an＝2n－1.(2)①因为b1＝a1＝1，bn＋1－bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，即b2－b1＝121－13，b3－b2＝1213－15，…bn－bn－1＝1212n－3－12n－1，n≥2，累加得bn－b1＝121－12n－1＝n－12n－1，所以bn＝b1＋n－12n－1＝1＋n－12n－1＝3n－22n－1.又b1＝1也符合上式，故bn＝3n－22n－1，n∈N*.②假设存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm.又b2＝43，bn＝3n－22n－1＝32－14n－2，bm＝32－14m－2，所以43＋32－14n－2＝232－14m－2，即12m－1＝16＋14n－2，化简得2m＝7n－2n＋1＝7－9n＋1.当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2(舍去)；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．