（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练五 2.2 函数的单调性与最值 理（含解析）

核心素养提升练五函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·衡阳模拟)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|【解析】选B.对于选项A,y=ex为增函数,y=-x为减函数,故y=e-x为减函数,对于选项B,y′=3x2≥0,故y=x3为增函数,对于选项C,函数的定义域为x0,不为R,对于选项D,函数y=|x|为偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.2.(2019·武汉模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是()A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)【解析】选A.f(x)=|x-2|x=其图象如图,由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].3.已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,-1]C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选A.因为函数f(x)在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1.4.(2019·济宁模拟)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选C.由复合函数的单调性,要使f(x)单调递增,需解得x2.5.下列函数中,值域为[0,1]的是()A.y=x2B.y=sinxC.y=D.y=【解析】选D.A中,x2≥0;B中,-1≤sinx≤1;C中,0≤1;D中,0≤≤1.6.函数f(x)=-x+在上的最大值是()A.B.-C.-2D.2【解析】选A.因为y=-x和y=在区间上都是减函数,所以f(x)在上单调递减,即f(-2)为最大值,且为2-=.7.(2018·新乡模拟)设函数f(x)=loga|x-1|在(-∞,1)上单调递增,则f(a+2)与f(3)的大小关系是()A.f(a+2)f(3)B.f(a+2)f(3)C.f(a+2)=f(3)D.不能确定【解析】选A.由函数f(x)=loga|x-1|,可知函数关于x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递增,易得0a1.所以2a+23.又因为函数在(1,+∞)上单调递减,所以f(a+2)f(3).二、填空题(每小题5分,共15分)8.设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是________.【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x1时,f(x)a-1.由题意知a-1≥2,所以a≥3.答案:[3,+∞)9.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为________.【解析】y=x-|1-x|=作出该函数的图象如图所示.由图象可知,该函数的单调递增区间是(-∞,1].答案:(-∞,1]10.函数f(x)=-+b(a0)在上的值域为,则a=________,b=________.【解析】因为f(x)=-+b(a0)在上是增函数,所以f=,f(2)=2.即解得a=1,b=.答案:1(20分钟40分)1.(5分)定义新运算:当a≥b时,a※b=a;当ab时,a※b=b2,则函数f(x)=(1※x)x-(2※x),x∈[-2,2]的最大值等于()A.-1B.1C.6D.12【解析】选C.由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1x≤2时,f(x)=x3-2.因为f(x)=x-2(-2≤x≤1),f(x)=x3-2(1x≤2)在定义域内都为增函数,所以f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.B.∪(1,+∞)C.D.∪【解析】选A.因为f(-x)=ln(1+|-x|)-=f(x),所以函数f(x)为偶函数.因为当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,在(0,+∞)上y=ln(1+x)递增,y=-也递增,根据单调性的性质知,f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可知:f(x)f(2x-1)可转化为f(|x|)f(|2x-1|),即|x||2x-1|,所以x2(2x-1)2,即3x2-4x+10,解得x1.3.(5分)(2019·连云港模拟)函数y=3x+的值域是________.【解析】函数y=3x+,设=t,则t≥0,那么x=t2+1.可得函数y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其对称轴t=-,开口向上,所以函数y在[0,+∞)上单调递增,所以当t=0时,y取得最小值为3.所以函数y=3x+的值域是[3,+∞).答案:[3,+∞)4.(12分)已知函数f(x)=ax+(1-x)(a0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.【解析】f(x)=x+,当a1时,a-0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,所以g(a)=f(0)=;当0a1时,a-0,此时f(x)在[0,1]上为减函数,所以g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.所以g(a)=所以g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,所以当a=1时,g(a)取最大值1.5.(13分)已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)若a0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.【解析】(1)任意设x1x2-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)0,x1-x20,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)任意设1x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a0,x2-x10,所以要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].