（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练四十四 9.5 空间直角坐标系、空间向量及其

核心素养提升练四十四空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解析】选D.在空间直角坐标系中,标出已知点,可知正视图为④和俯视图为②.2.已知点A(-3,1,5)与点B(0,2,3),则A,B之间的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.因为A(-3,1,5),B(0,2,3),所以|AB|===.3.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4D.8【解析】选B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cosθ===,所以sinθ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为S=2××|a|×|b|×=.4.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于()A.(b+c-a)B.(a+b-c)C.(a-b+c)D.(c-a-b)【解析】选D.因为=-=-=.5.有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由共面向量基本定理可知①③正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.6.(2018·长沙模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.B.C.D.【解析】选D.由题意设c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以所以7.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=·(-)+·(-)+·(-)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【一题多解】选A.如图,在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,则正四面体的对棱互相垂直.所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=且λ0,则λ=________.【解析】a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以λa+b=(4,1-λ,λ),所以16+(λ-1)2+λ2=29(λ0),所以λ=3.答案:39.已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若OC⊥AB,则x=________;若O,A,B,C四点共面,则x=________.【解析】由题意得,=(x,-8,8),=(3,2,-4),所以OC⊥AB⇒·=3x-16-32=0,所以x=16;若O,A,B,C四点共面,所以存在唯一的实数λ,μ使得,=λ+μ,所以(x,-8,8)=λ(-2,2,-2)+μ(1,4,-6),所以答案:16810.已知点P为棱长等于2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点,且||=2,则·的值达到最小时,与夹角大小为________.【解析】由题意得,取C1D1中点M,则·==-=-1,因为|PA|=2,所以P在以A为球心2为半径的球面上,所以||min=AM-2=3-2=1,因为PM=C1D1,所以PD1⊥PC1,所以与的夹角为90°.答案:90°(20分钟40分)1.(5分)已知空间直角坐标系中O为原点,A(0,0,3),B(0,4,0),C(5,0,0),则经过O,A,B,C四点的球的体积为()A.50πB.πC.πD.π【解析】选B.根据四个点的坐标可知,这四个点构成直角四面体,补形为长方体后,对角线长为=5,四面体的外接球就是长方体的外接球,直径为5,所以所求的球的体积为=.2.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB,则PA的长为()A.2B.2C.2D.4【解析】如图,连接BD交AC于点O,因为BC=CD,∠ACB=∠ACD,所以AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以以,,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则OC=CDcos=1,OD=CDsin=,因为AC=4,所以AO=3,所以A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),设P(0,-3,z),z0,因为F为PC的中点,所以F(0,-1,),又因为=,=(,3,-z),AF⊥PB.所以·=6-=0,所以z=2,所以PA的长为2.3.(5分)如图所示的一块长方体木料中,已知AB=BC=4,AA1=1,设E为底面ABCD的中心,且=λ,(0≤λ≤),则该长方体中经过点A1,E,F的截面面积的最小值为__________.【解析】以AA1为z轴,AB为y轴,AD为x轴,建立空间直角坐标系,连接FE并延长交BC于K,则K(4-4λ,4,0),A1(0,0,1),F(4λ,0,0),则=(4-8λ,4,0),=(-4λ,0,1),S=sin∠A1FK,则S2=-=-=32(10λ2-2λ+1),0≤λ≤,所以最小值为,所以面积的最小值为.答案:4.(12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设=a,=b,=c.(1)用a,b,c表示.(2)求AE的长.【解析】(1)=++=a+b+c.(2)||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+a·c+b·c=25+9+4+0+(20+12)·cos60°=54.所以||=3,即AE的长为3.5.(13分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点.(1)求证:AD1⊥平面A1DC.(2)若MN⊥平面A1DC,求证:M是AB的中点.【解析】(1)以D为原点,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=,=,=,所以·=0,·=0,所以⊥,⊥,又因为A1D∩DC=D,所以AD1⊥平面A1DC.(2)因为M在AB上,所以设=m=m,所以=+=,即M,因为N是A1C的中点,所以N,所以=,因为MN⊥平面A1DC,AD1⊥平面A1DC,所以AD1∥MN,所以1-2m=0,所以m=,所以M是AB的中点.