（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练四十九 10.3 圆的方程 理（含解析）新人

核心素养提升练十九圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·南昌模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2=2B.x2+y=C.x2+y2=1D.x2+y2=4【解析】选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.(2019·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.B.∪(1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)24,所以-a1.3.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+B.2C.1+D.2+2【解析】选A.由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+.【变式备选】设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2【解析】选B.如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.4.方程|y|-1=表示的曲线是()A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.由已知,|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心,1为半径,直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,rmax==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).【变式备选】当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为()A.B.C.D.【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2,若表示圆,则4-k20,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.6.(2018·九江模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线(A,B是切点),C是圆心,那么四边形PACB的面积的最小值是()A.B.C.D.【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,则C(1,1),当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小,|PC|min==2,此时|PA|=|PB|=.所以四边形PACB的面积S=2×××1=.7.(2018·吉大阴中模拟)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t0),若圆C上存在点P,使得·=0,则t的最小值为()A.3B.2C.D.1【解析】选D.由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆,当两圆外切时有=tmin+1⇒tmin=1,即t的最小值为1.【变式备选】(2018·岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆,又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|++|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,所以的最大值为+1.答案:+1二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·郑州模拟)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为________.【解析】圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=59.(2019·伊春模拟)设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P,则直线AB的方程是________.【解析】x2+y2-4x-5=0,所以圆心为C,因此kCP==1,所以kAB=-1,AB:y-1=-,x+y-4=0.答案:x+y-4=010.经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程为__________.【解析】方法一(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.方法二(直接法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.因为弦的垂直平分线过圆心,所以由得即圆心坐标为(4,-3),半径为r==5,所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.答案:(x-4)2+(y+3)2=25(20分钟40分)1.(5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1,由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.2.(5分)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1【解析】选C.到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.【解析】设P(cosα,sinα),α∈R,则=(2,0),=(cosα+2,sinα),·=2cosα+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cosα+4取得最大值,最大值为6,即·的最大值为6.答案:6【一题多解】设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),所以·=2x+4,所以·的最大值为6.答案:6【变式备选】已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则·=________;若点P为圆O上的动点,则·的取值范围是________.【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以∠PAB=45°,则·=2××=2.不妨设A,B,P(x,y),且-1≤y≤1,则·=·(0,-)=-y+1∈[-+1,+1].答案:2[-+1,+1]4.(12分)(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,经过函数f(x)=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程.(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得,其图象与两坐标轴的交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),将交点坐标代入圆的方程得解得所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.(2)由(1)知圆心坐标为,-,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.5.(13分)已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),点B(1,0).点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:kAP·kBP是定值.(2)过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程C.(3)证明:kAM·kBM是定值.【解析】(1)由已知,直线AP,BP斜率存在,AB是圆O的直径,所以AP⊥BP,所以kAP·kBP=-1是定值.(2)设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为2=-,所以2(0,-n)=-(x-m,y-n),即即①因为点P在圆O上,所以m2+n2=1,②将①代入②得,x2+=1,又点P异于A,B,所以x≠±1,即点M的轨迹方程C为x2+=1(x≠±1).(3)由已知,直线AM,BM斜率存在,kAM=,kBM=,由(2)知x2-1=-,所以kAM·kBM=·==-9,即kAM·kBM是定值.