（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练十七 3.5 定积分的概念与微积分基本定理、

核心素养提升练十七定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设f(x)=若f(f(1))=1,则a=()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.f(1)=0,又f(x)=x+3t2dt=x+a3,x≤0,则f(f(1))=f(0)=0+a3=1,解得a=1.2.曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【解析】选A.由可得或所以曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积如图阴影部分为(x-2x-x2)dx==.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=dx,则a5+a6=()A.B.12C.6D.【解析】选D.S10=dx=dx+=+1-=1==5(a5+a6),得a5+a6=.4.函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B.2C.3D.4【解析】选D.由题意,函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积为×2×2+2cosxdx=2+2sinx=2+2=4.5.等比数列{an}中a3=9,前3项和为S3=3x2dx,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或-【解析】选C.S3=3x2dx=x3=33=27,即前三项和为S3=27,因为a3=9,所以即所以=,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.6.如图,四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x-lnx)=3-2ln2,所以豆子落在阴影部分的概率为.7.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=,g(x)=x,其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则y=f(x)·g(x)为奇函数,对于①,f(x)=sinx,g(x)=cosx,所以f(x)·g(x)=sinx·cosx=sinx,为奇函数,所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上是一组正交函数;对于②,f(x)=x+1,g(x)=x-1,则f(x)g(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,为偶函数,所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上不是一组正交函数;对于③:f(x)=g(x)=x,则f(x)g(x)=,为偶函数,所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上不是一组正交函数.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·昆明模拟)计算dx=________.【解析】dx=dx==+ln.答案:+ln9.已知m=(cosx-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为________.【解析】m=(cosx-x+3sin2x)dx==2,所以=,所以Tr+1=x6-r=,由6-r=0得r=4,因此常数项为=.答案:10.已知直线AB:x+y-6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的图形为Ω,若从Rt△AOB区域内任取一点M(x,y),则点M取自图形Ω的概率为________.【解析】由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S=x2dx+(6-x)dx=x3+(6x-x2)=,又Rt△AOB的面积为×6×6=18,所以P==.答案:(20分钟40分)1.(5分)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】选B.因为S1=x2dx=x3=×23-=,S2=dx=lnx=ln2,S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1),因为ln2lne=1且e(e-1),所以ln2e(e-1),即S2S1S32.(5分)直线x=1,x=e与曲线y=,y=围成的面积是()A.(2-5)B.(2-1)C.(2-2)D.2-5【解析】选A.如图所示,由直线x=1,x=e与曲线y=,y=围成的阴影部分面积是3.(5分)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A.B.C.D.【解析】选A.由得x=t.故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t2+,令S′=4t2-2t=0,因为0t1,所以t=,易知当t=时,Smin=.4.(12分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.(1)求y=f(x)的表达式.(2)若直线x=-t(0t1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b,由已知f′(x)=2x+2,得a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c.又方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,所以Δ=4-4c=0,即c=1.故f(x)=x2+2x+1.(2)依题意得(x2+2x+1)dx=(x2+2x+1)dx,所以=,整理得2t3-6t2+6t-1=0,即2(t-1)3+1=0,所以t=1-.5.(13分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S.【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y=x2的导数y′=x,y′|x=2=2,而切点的坐标为(2,2),所以曲线C2:y=x2在P处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),所以两条曲线所围图形的面积S=dx==.