（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十六 12.7 离散型随机变量及其分布列

核心素养提升练六十六离散型随机变量及其分布列(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是()A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤5【解析】选C.“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.2.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球时为止,所需要的取球次数为随机变量ξ,则ξ的可能值为()A.1,2,…,6B.1,2,…,7C.1,2,…,11D.1,2,3,…【解析】选B.除白球外,其他的还有6个球,因此取到白球时取球次数最少为1次,最多为7次.3.已知随机变量ξ的分布列P(ξ=k)=,k=1,2,3,…,则P(2ξ≤4)等于()A.B.C.D.【解析】选A.P(2ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=.4.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示:ξ-10123P则下列各式正确的是()A.P(ξ3)=B.P(ξ1)=C.P(2ξ4)=D.P(ξ0.5)=0【解析】选C.P(ξ3)=+++=,A错误;P(ξ1)=+=,B错误;P(2ξ4)=P(ξ=3)=,C正确;P(ξ0.5)=+=,D错误.5.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于()A.0B.C.D.【解析】选C.由已知得X的所有可能取值为0,1,且P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)=.6.某射击选手射击环数的分布列为X78910P0.30.3ab若射击不小于9环为优秀,其射击一次的优秀率为()A.30%B.40%C.60%D.70%【解析】选B.由分布列的性质得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%.7.在15个村庄中有7个村庄交通不便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不便的村庄数,下列概率中等于的是()A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)【解析】选C.由超几何分布的概率计算公式得P(X=4)=.【变式备选】高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的是()A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)【解析】选B.表示从5名“三好学生”中选择3名,从而P(X=3)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.袋中有4只红球、3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=________.(用分数表示结果)【解析】取出的4只球中红球个数可能为4,3,2,1,黑球相应个数为0,1,2,3,所以得分的随机变量ξ=4,6,8,10,所以P(ξ≤7)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=+=.答案:【变式备选】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)=________.【解析】P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.答案:9.若随机变量X的概率分布列为Xx1x2Pp1p2且p1=p2,则p1=________.【解析】由p1+p2=1且p2=2p1,解得p1=.答案:10.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的分布列为________.【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,4,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=,所以分布列为X0124P答案:X0124P(15分钟30分)1.(5分)(2018·泰安模拟)若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中x1x2,则P(x1≤X≤x2)等于()A.(1-α)(1-β)B.1-(α+β)C.1-α(1-β)D.1-β(1-α)【解析】选B.显然P(Xx2)=β,P(Xx1)=α.由概率分布列的性质可知P(x1≤X≤x2)=1-P(Xx2)-P(Xx1)=1-α-β.2.(5分)一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的三只球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为()【解析】选C.随机变量ξ的可能取值为1,2,3.当ξ=1时,即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(ξ=1)===;当ξ=2时,即取出的三只球中最小号码为2,则其他两只球只能在编号为3,4,5的三只球中任取两只,故有P(ξ=2)==;当ξ=3时,即取出的三只球中最小号码为3,则其他两只球只能在编号为4,5的两只球中取,故有P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为:ξ123P3.(5分)随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.【解析】由题意知所以2b+b=1,则b=,因此a+c=.所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.答案:4.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列.【解析】设下周一无雨的概率为p,由题意得p2=0.36,p=0.6.基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列为:X2015107.5P0.360.240.240.16【变式备选】1.(2018·青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球,其中红球4个,编号分别为1,2,3,4;蓝球3个,编号分别为2,4,6,现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同).(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率.(2)记ξ为取到的球中红球的个数,求ξ的分布列.【解析】(1)设A=“取出的3个球中含有编号为2的球”,则P(A)====.(2)由题意得,ξ可能取的值为0,1,2,3,则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为:ξ0123P2.某网站的点击量等级规定如下:点击次数x(万次)0≤x5050≤x100100≤x150x≥150等级差中良优统计该网站4月份每天的点击次数如下表:点击次数x(万次)0≤x5050≤x100100≤x150x≥150天数511104(1)若从中任选两天,求点击次数落在同一等级的概率.(2)从4月份点击次数低于100万次的天数中随机抽取3天,记这3天的点击等级为差的天数为随机变量X,求随机变量X的分布列.【解析】(1)设“任选两天,点击次数落在同一等级”为事件A,则P(A)==.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故随机变量X的分布列为:X0123P