（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十二 12.3 二项式定理 理（含解析）新

核心素养提升练六十二二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80【解析】选C.展开式的通项公式为Tr+1=(x2)5-r=2rx10-3r,令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为22=40.【变式备选】的展开式中常数项为()A.15B.-15C.20D.-20【解析】选A.Tr+1=()6-r=(-1)r,r=0,1,…,6,令3-r=0,得r=2,所以的展开式的常数项为(-1)2=15.2.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则n等于()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得=2n=64,所以n=6.3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于()A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3【解析】选C.S=(x-1)3+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.【变式备选】(2018·银川模拟)+2+4+…+2n-1等于()A.3nB.2·3nC.-1D.【解析】选D.+2+4+…+2n-1=(+2+22+…+2n)-=(1+2)n-=.4.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项【解析】选C.因为Tr+1=()24-r=,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共有5项.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,又a1+a2+a3+…+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.若展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.90B.45C.120D.180【解析】选D.因为展开式中只有第六项的二项式系数最大,故n=10,展开式的通项公式为Tr+1=·2r·令5-=0,得r=2,所以展开式中的常数项是·22=180.7.已知n∈N*,则24n除以15的余数为()A.1B.3C.4D.2【解析】选A.因为24n=16n=(15+1)n=15n+15n-1+…+15+=15(15n-1+15n-2+…+)+1.所以余数为1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·天津高考)在的展开式中,x2的系数为________.【解析】因为的通项为Tr+1=x5-r=(-1)r2-r,令=2,解得r=2,即T3=(-1)22-2x2=x2.所以在的展开式中,x2的系数为.答案:9.设的展开式中x3的系数为a,二项式系数为b,则的值为________.【解析】的展开式的通项是x6-k=(-2)k,根据题意得6-=3,k=2,因此x3的系数为a=60,二项式系数为b==15,因此,==4.答案:4【误区警示】二项式系数与项的系数(a+bx)n的展开式中,二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是,而该项的系数是an-kbk.10.(2018·汕头模拟)已知(2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=________.【解析】(2x-1)5的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r.所以(2x-1)5展开式中的常数项为·2x=30,解得a=3.答案:3【变式备选】(1+x+x2)的展开式中的常数项为________.【解析】的展开式中,Tr+1=x6-r·=(-1)rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,T4=(-1)3=-,令6-2r=-1,得r=(舍去),令6-2r=-2,得r=4,T5=(-1)4x-2,所以(1+x+x2)的展开式中的常数项为1×(-)+=-20+15=-5.答案:-5(20分钟40分)1.(5分)若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.的展开式的项为Tr+1=x6(n-r)=,由6n-r=0得,n=r,又n为正整数,所以当r=4时,n的最小值为5.【变式备选】在的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于()A.-1B.0C.1D.2【解析】选D.因为Tr+1=x5-r=arx5-2r,所以当5-2r=3时,r=1,所以a=10,所以a=2.2.(5分)在二项式的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为________.【解析】二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9;所以二项式的展开式中,通项公式为Tr+1=(9x)9-r=99-r;令9-=1,解得r=6;所以展开式中x的系数为93=84.答案:84【变式备选】若的展开式中,二项式系数和为64,所有项的系数和为729,则a的值为________.【解析】由的展开式中二项式系数和为2n=64,可得n=6,再由的展开式中所有项的系数和为(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.答案:-4或23.(5分)如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为________.【解析】因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-54.(12分)已知在的展开式中,第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)通项公式为Tr+1==,因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得r=(n-6)=2,所以含x2项的系数为=.(3)根据通项公式,由题意得令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-k,因为k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,-,x-2.5.(13分)已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.(1)求n的值.(2)求展开式中x3项的系数.(3)计算式子-2+4-8+…+1024的值.【解析】(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3,可得=,化简可得=,求得n=10.(2)由于二项展开式的通项公式为Tr+1=(-2)rx5-r,令5-r=3,求得r=2,可得展开式中x3项的系数为(-2)2=180.(3)由二项式定理可得=(-2)rx5-r,所以令x=1得-2+4-8+…+1024=(1-2)10=1.