（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练二十三 4.6 正弦定理和余弦定理 理（含解

核心素养提升练二十三正弦定理和余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为()A.60°或120°B.60°C.30°或150°D.30°【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得=,所以sinA===.又ab,所以AB,所以A=60°或A=120°.2.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcosC,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在△ABC中,因为cosC=,所以a=2bcosC=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,则△ABC解的情况是()A.无解B.有唯一解C.有两解D.不能确定【解析】选B.因为在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,所以根据正弦定理得sinB===,因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,所以由sinB=,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,因此,满足条件的△ABC有且只有一个.5.(2019·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则△ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.【解析】选A.因为=,所以(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.又sinA≠0,所以cosB=.因为0Bπ,所以B=.由余弦定理得b2=16=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,所以ac≤16,当且仅当a=c时等号成立.所以S△ABC=acsin≤×16×=4.故△ABC面积的最大值为4.【变式备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=3,S△ABC=2,则b的值为()A.6B.3C.2D.2或3【解析】选D.因为S△ABC=2=bcsinA,所以bc=6,又因为sinA=,所以cosA=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________.【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0Bπ,所以B=.答案:7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcosA=sinB,且a=2,b+c=6,则△ABC的面积为________.【解析】由题意可得:abcosA=asinB,所以asinBcosA=sinAsinB,所以tanA=a=,所以A=.利用余弦定理有cosA===,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则S△ABC=bcsinA=×8×=2.答案:2【变式备选】在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sinC)·cosA=-2sinAcosC,且a=2,则△ABC面积的最大值是______.【解析】因为(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,所以bcosA=-2(sinCcosA+sinAcosC)=-2sin(A+C)=-2sinB,则=,结合正弦定理得==,即tanA=-,∠A=π,由余弦定理得cosA==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,S△ABC=bcsinA≤×4×=.答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+bsinA=csinC,a=2,b=2,则sinB=________.【解析】因为asinA+bsinB+bsinA=csinC,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cosC==-,又0Cπ,所以C=.c2=a2+b2-2abcosC=22+(2)2-2×2×2×=20,所以c=2.由正弦定理得=,即=,解得sinB=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,3(c-acosB)=bsinA.(1)求角A.(2)若sinBcosC=,求角C.【解析】(1)由3(c-a·cosB)=b·sinA得3(sinC-sinA·cosB)=sinB·sinA,得:3[sin(A+B)-sinA·cosB]=sinB·sinA,得:3cosAsinB=sinB·sinA,得tanA=,所以A=.(2)因为B+C=,所以sincosC=,cos2C+sinCcosC=,所以(1+cos2C)+sin2C=,即cos2C+sin2C=-,所以sin=-,又因为2C+,所以2C+=,所以C=.10.(2018·淮南模拟)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且sin2B+cosB=2.(1)求角B的大小.(2)已知b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)△ABC中,sin2B+cosB=2,所以1-cos2B+cosB=2,即cos2B-cosB+1=0,解得cosB=2(舍)或cosB=.所以B=.(2)因为B=,b=2,根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,代入得a2+c2-ac=4,得a2+c2=ac+4≥2ac,解得ac≤4,S△ABC=acsinB≤×4×=,所以△ABC面积的最大值为.(20分钟40分)1.(5分)(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理=得sin∠BAC==.2.(5分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,cos2=,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选A.因为cos2=,所以=,所以cosB=,所以由余弦定理,得=,所以a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形.【变式备选】在△ABC中,B=60°,sin2B=sinA·sinC,则△ABC一定是()A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【解析】选D.因为B=60°,sin2B=sinA·sinC,所以b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,将b2=ac代入可得ac=a2+c2-ac⇒(a-c)2=0⇒a=c,故△ABC一定是等边三角形.3.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1++=0,则A=________.【解析】由正弦定理可得1++=0.故1++=0,通分得到+=0,+=0.因为B,C∈(0,π),所以≠0,故+2=0,即cosA=-.因为A∈(0,π),故A=.答案:4.(12分)(2019·厦门模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosA=(a-2c)cos(π-B).(1)求B.(2)若ab,sinAsinC=,△ABC的周长为3+,求△ABC的面积.【解析】(1)因为bcosA=(a-2c)cos(π-B),由正弦定理得sinBcosA=(sinA-2sinC)(-cosB),所以sin(A+B)=2sinCcosB,所以cosB=,因为B∈(0,π),所以B=.(2)因为A+C=,所以sinAsin=sinA·=,所以sinA·cosA=cos2A,cosA(sinA-cosA)=0,即cosA=0或tanA=,解得:A=或,因为ab,所以A=,C=,所以c=,b=a,因为a+b+c=3+,所以a=2,c=1,b=,所以S△ABC=bcsinA=.5.(13分)(2019·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且acosC=(2b-c)cosA.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得:sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA,从而可得:sin(A+C)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又B为三角形的内角,所以sinB≠0,于是cosA=,又A为三角形的内角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,所以bc≤4(2+),所以S=bcsinA≤2+.所以△ABC面积的最大值为2+.