（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练二十九 6.2 等差数列及其前n项和 理（含

核心素养提升练二十九等差数列及其前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.等差数列{an}中,a1=1,an=100(n≥3).若{an}的公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A.3,7,9,15,100B.4,10,12,34,100C.5,11,16,30,100D.4,10,13,43,100【解析】选B.由等差数列的通项公式得,公差d==.又因为d∈N,n≥3,所以n-1可能为3,9,11,33,99,n的所有可能取值为4,10,12,34,100.2.在《张丘建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布几何?”()A.30尺B.60尺C.90尺D.120尺【解析】选C.由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列,等差数列{an}中,首项与第三十项分别为a1=5,a30=1,所以S30==90(尺).【变式备选】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【解析】选A.依题意,金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2.由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.3.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.由题意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+99×1=98.【一题多解】选C.由等差数列性质可知:S9===9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d==1,所以a100=a10+90d=98.【变式备选】(2018·大同模拟)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.600【解析】选B.由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1.由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29,所以S20==10(a2+a19)=300.4.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.【变式备选】数列{an}首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有an+m=an+3m,则{an}的前5项和S5=()A.121B.25C.31D.35【解析】选D.令m=1,有an+1=an+3,所以{an}是等差数列,首项为1,公差为3,所以an=1+3=3n-2,所以S5=5a3=5=35.5.在数列{an}中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是()A.-10B.10C.50D.70【解析】选C.由2an+1-an+2=an得2an+1=an+2+an,即数列{an}是等差数列,由a2=8,a5=2,可得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,当1≤n≤6时,an≥0,当n≥7时,an0,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=2S6-S10=50.【变式备选】等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d0,(S8-S5)(S9-S5)0,则()A.|a7||a8|B.|a7||a8|C.|a7|=|a8|D.|a7|=0【解析】选B.因为(S8-S5)(S9-S5)0,所以(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)0,因为{an}为等差数列,所以a6+a7+a8=3a7,a6+a7+a8+a9=2(a7+a8),所以a7(a7+a8)0,所以a7与(a7+a8)异号.又公差d0,所以a70,a80,且|a7||a8|.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=________.【解析】因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.答案:997.设等差数列{an}的前n项和为Sn,m1S=-2,Sm=0,m1S=3,则正整数m的值为________.【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,m1S=-2,Sm=0,m1S=3,所以am=Sm-m1S=2,=m1S-Sm=3,数列的公差d=1,am+=m1S-m1S=5,即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.由Sm=(3-m)m+×1=0,解得正整数m的值为5.答案:5【变式备选】设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,则λ=________.【解析】当S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8时,由等差数列的性质得:S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),所以2(3S4-S4)=S4+(λ·3S4-3S4),解得λ=2.答案:28.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·2n+1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________.a1a2a3a4a5a6……【解析】由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{an}的第1+2+3+…+9+3=+3=48项,而a48=(-1)48×96+1=97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案:97三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,Sn=(n≥2),证明是等差数列.【证明】因为Sn=,所以2Sn-1Sn+Sn=Sn-1,即Sn-1-Sn=2SnSn-1,故-=2(n≥2),又==,因此数列是首项为,公差为2的等差数列.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(n∈N*).(1)求a2的值并证明:an+2-an=2.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,所以a2=.2anan+1=4Sn-3,①2an+1an+2=4Sn+1-3②②-①得,2an+1(an+2-an)=4an+1.因为an+1≠0,所以an+2-an=2.(2)由(1)可知:数列a1,a3,a5,…,a2k-1,…为等差数列,公差为2,首项为1,所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n为奇数时,an=n.数列a2,a4,a6,…,a2k,…为等差数列,公差为2,首项为,所以a2k=+2(k-1)=2k-,即n为偶数时,an=n-.综上所述,an=.(20分钟40分)1.(5分)如果数列{an}满足a1=2,a2=1,且=(n≥2),则这个数列的第10项等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为=,所以1-=-1,即+=2,所以+=,故是等差数列.又因为d=-=,所以=+9×=5,故a10=.【变式备选】已知数列{an}中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=()A.B.C.D.【解析】选D.设等差数列的公差为d,则=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.2.(5分)(2019·衡水模拟)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为a1=19,an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,则有k∈N*,所以所以≤k≤,因为k∈N*,所以k=7.所以满足条件的n的值为7.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选B.因为a1=19,an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以Sn=19n+n(n-1)×(-3)=-n2+n.显然是关于n的二次函数,开口向下,所以当n=时,Sn=-n2+n取得最大值,又因为k∈N*,所以k=7.所以满足条件的n的值为7.3.(5分)(2019·长沙模拟)已知函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2(x1x2),且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4(x3x4),若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m的值为________.【解题指南】函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2,可知x1=,x2=π,因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,需要分两种情况进行讨论:m0和m0,再利用等差数列的性质进行求解.【解析】函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2(x1x2),所以x1=,x2=π,因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,若m0,则由余弦函数的图象知x3,,π,x4构成等差数列,可得公差d=-=π,则x3=-π=-0,显然不可能;若m0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,π构成等差数列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cosx3=cosπ=-.答案:-4.(12分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=(2a2+2)2.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.【解析】(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4,所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n,当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=【变式备选】(2018·沈阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T5的值和Tn的表达式.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意知解得故an=2n-7(n∈N*).(2)由an=2n-70,得n,即n≤3,所以当n≤3时,an=2n-70,当n≥4时,an=2n-70.由(1)知Sn=n2-6n,所以当n≤3时,Tn=-Sn=6n-n2;当n≥4时,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=n2-6n+18.故T5=13,Tn=5.(13分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为数列{an}为等差数列,所以a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根,又公差d0,所以a3a4,所以a3=9,a4=13,所以解得所以数列{an}的通项公式为an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,所以Sn=na1+×d=2n2-n,所以bn==,所以b1=,b2=,