（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练二十八 6.1 数列的概念与简单表示法 理（

核心素养提升练二十八数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a4的值为()A.4B.6C.8D.10【解析】选C.a4=S4-S3=20-12=8.【变式备选】数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式an等于()A.B.cosC.cosπD.cosπ【解析】选D.令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项.2.已知数列,,,,,…,则5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项【解析】选C.数列,,,,,…中的各项可变形为,,,,,…,所以通项公式为an==,令=5,得n=21.3.(2018·南昌模拟)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=,所以a4=+(-1)4,a4=3,所以3a5=3+(-1)5,所以a5=,所以=×=.4.设曲线f(x)=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·x3·x4·…·x2019等于()A.B.C.D.【解析】选B.由f(x)=xn+1得f′(x)=(n+1)xn,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0得xn=,故x1·x2·x3·x4·…·x2019=××…×=.5.在各项均为正数的数列{an}中,对任意m,n∈N*,都有mna=am·an.若a6=64,则a9等于()A.256B.510C.512D.1024【解析】选C.在各项均为正数的数列{an}中,对任意m,n∈N*,都有mna=am·an.所以a6=a3·a3=64,a3=8.所以a9=a6·a3=64×8=512.6.已知数列{an}满足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),则a10=()A.64B.32C.16D.8【解析】选B.因为an+1an=2n,所以an+2an+1=2n+1,两式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,···=24,即a10=25=32.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选B.由题意得数列{a2n}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a10=2×24=32.7.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2018=()A.8B.6C.4D.2【解析】选D.由题易得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列{an}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018==a8=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________.【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不满足上式.故数列的通项公式为an=答案:an=【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是没有验证n=1的情况,二是运算错误.9.现定义an=5n+,其中n∈,则an取最小值时,n的值为________.【解析】令5n=t0,考虑函数y=t+,易知其在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且当t=1时,y的值最小,再考虑函数t=5x,当0x≤1时,t∈(1,5],则可知an=5n+在(0,1]上单调递增,所以当n=时,an取得最小值.答案:10.(2018·冀州期中)已知数列{an}满足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),则a3=________,an=________.【解析】由an=n(an+1-an),可得=,则an=···…··a1=×××…××1=n(n≥2),所以a3=3.因为a1=1满足an=n,所以an=n.答案:3n【变式备选】(2018·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=________.【解析】因为Sn=,a4=32,所以-=32,所以a1=.答案:(20分钟40分)1.(5分)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2017的值为()A.2017n-mB.n-2017mC.mD.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2017==a1=m.2.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,所以(n+1)an=(n-1)an-1,从而···…·=··…·,则an=,当n=1时上式成立,所以an=.【变式备选】已知数列满足an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义:使乘积a1·a2·a3…ak为正整数的k叫做“期盼数”,则在区间内所有的“期盼数”的和为()A.2036B.4076C.4072D.2026【解析】选D.因为an=logn+1(n+2),所以a1·a2·a3…ak=··…=log2(k+2),又因为a1·a2·a3…ak为正整数,所以k+2必须是2的n次幂,即k=2n-2,又k∈[1,2011],所以1≤2n-2≤2011,所以解得2≤n≤10,则在区间[1,2011]内所有的“期盼数”的和为:(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=-2×9=2026.3.(5分)数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2n+1,写出数列{an}的通项公式________.【解析】因为a1+a2+a3+…+an=2n+1,所以a1+a2+a3+…+an+an+1=2(n+1)+1,两式相减得an+1=2,即an=2n+1,n≥2,又a1=3,所以a1=6,因此an=答案:an=4.(12分)(2019·银川模拟)已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明:数列{an}是递减数列.【解析】(1)因为f(x)=2x-,f(log2an)=-2n,所以an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n±,因为an0,所以an=-n,n∈N*.(2)==1,因为an0,所以an+1an,所以数列{an}是递减数列.5.(13分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3.(2)求{an}的通项公式.【解析】(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,an=an-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.显然,当n=1时也满足上式.综上可知,{an}的通项公式an=.【变式备选】设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1,因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n≥1),当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=3≠0,所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.所以an+2=3×2n-1,所以an=3×2n-1-2,当n=1时也成立,所以an=3×2n-1-2.