（广西专用）2019中考数学二轮新优化复习 第二部分 专题综合强化 专题5 与四边形有关的证明与计算

1第二部分专题五1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC.∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC.∵BD＝2，∴OB＝12BD＝1.在Rt△AOB中，AB＝5，OB＝1，∴OA＝AB2－OB2＝2，∴OE＝OA＝2.2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE和AF交于点O，且AE＝DF.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°.2在△ABE和△DAF中，AB＝DA，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF(SAS)．(2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠FAD.又∵∠FAD＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠AOB＝∠EAB＝90°，∴△ABO∽△EBA，∴ABEB＝BOBA.∵BO＝4，OE＝2，∴AB6＝4AB，∴AB2＝24，∴正方形ABCD的面积是24.3．(2017·百色)矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝12AD，CF＝12BC，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH，在△DEG和△BFH中，∠DGE＝∠BHF，∠EDG＝∠FBH，DE＝BF，∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG＝FH.4．(2018·玉林适应性考试)如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点P是AC上动点，∠CAB＝∠CAD，且AB＝10，cos∠CAB＝45.3(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若点E是AB边上动点，连接PB，PE，求线段PE＋PB的最小值．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CAB＝∠DCA.∵∠CAB＝∠CAD，∴∠DCA＝∠CAD，∴CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，连接BP，此时线段PE＋PB的值最小，且PE＋PB＝DE.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°.∵AB＝10，cos∠CAB＝OAAB＝45，∴AO＝45AB＝8，∴BO＝6，BD＝2BO＝12.∵∠DEB＝∠AOB＝90°，∴∠BDE＝∠OAB，∴DE＝DB·cos∠BDE＝12×45＝485，∴线段PE＋PB的最小值为485.5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H.4(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.①求证：△AGE≌△AFE；②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由.解：(1)①证明：由旋转的性质知AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°.又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE.在△AGE和△AFE中，AG＝AF，∠GAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB＝AH，GE＝EF＝5.设正方形的边长为x，则EC＝x－2，FC＝x－3.在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2，即(x－3)2＋(x－2)2＝25，解得x＝6(负值已舍去)．∴AB＝6，∴AH＝6.(2)解：MN2＝ND2＋BM2.理由：如答图所示．将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.由旋转的性质可知，∠ADM′＝∠ABM＝45°，BM＝DM′.∴∠NDM′＝90°，∴NM′2＝ND2＋DM′2.5∵∠EAM′＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAM′＝45°.在△AMN和△ANM′中，AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N(SAS)．∴MN＝M′N.又∵BM＝DM′，∴MN2＝ND2＋BM2.