第五章功率谱估计1-2节

1第五章功率谱估计2第一节引言3/1131、信号与系统的分析研究方法（1）在时域进行（一维信号）（2）在频域进行（一维信号）（3）在时频域进行（二维信号）（4）在空域进行（多维信号）4/113（1）在时域进行如我们前面所学的维纳滤波、卡尔曼滤波和自适应滤波都属于这种方法。5/113（2）在频域进行对确定性信号傅里叶变换是在频率域分析研究的理论基础。对随机性信号其傅里叶变换并不存在，因此研究它的功率谱。6/113（3）在时频域进行（二维信号）时频分析是一种新的信号分析方法，对于非平稳信号、宽带信号，采用时频分析方法显得特别重要，近年来得到越来越广泛的重视。由于时频特征分离的固有性质，使局限时间或频谱的一维信号处理扩展到二维的时频平面，信号的时频特征得到了分离，对信号的分析可以具体到信号的特定时间和特定频率，全面反映观测信号的时频联合特征，相应的时频滤波也变得更为容易、更为直观。时频分布可分为线性时频表示（如短时傅立叶变换、小波分析等）和非线性时频表示。7/113（4）在空域进行空域信号处理器是雷达必不可少的最重要分系统。阵列信号处理。属于空域信号处理。空域相关去噪法。是一种新的自适应小波滤噪法。极化域——空域联合谱估计。分布式移动通信系统。充分利用空域来提高系统容量及频谱利用率。空时二维自适应信号处理是新一代机载雷达的一项关键技术。8/1132、随机信号的频域分析随机信号是无始无终，能量无限的信号，其傅里叶变换不收敛，因而不能确定此类信号的频谱。随机信号能量无限，其功率未必无限，因而常用功率谱来描述其频率特性。随机信号自相关函数的傅里叶变换是信号的功率谱密度。9/1133、谱估计定义谱估计或功率谱估值：根据有限个观测数据，估计平稳随机信号的功率谱。10/1133、谱估计的应用谱估计的应用遍及雷达、声纳、通信、生物医学、地震勘探等诸多领域。在雷达信号处理中，由回波信号功率谱密度、谱峰的密度、高度和位置，可以确定运动目标的位置、幅射强度和运动速度等。在被动式声纳信号处理中，谱峰的位置可提供鱼雷的方向（方位角）。11/113在生物医学工程中，有关生理电信号的功率谱密度的谱峰可以指示癫痫病的发作周期。在电子战中，谱分析可用来对目标进行分类，识别等。根据信号、干扰与噪声的功率谱，可设计适当的滤波器，尽量不失真地重现信号，最大限度地抑制干扰与噪声。12/113功率谱估计分为两大类：（1）经典谱估计（非参数化方法）（线性谱估计）。（2）现代谱估计（参数化方法）（非线性谱估计）。4、谱估计的分类13/113实质上仍依赖于传统的傅里叶变换法。经典的谱估计法又分为两种：（a）相关图法（又称间接法（BT法））。是由布莱克曼(R.B.Blackman)和图基(J.W.Tukey)于1958年提出的，称为BT法。（b）直接法（又称周期图periodogram法）。是由舒斯特(Schuster)于1898年提出的。（1）经典谱估计（非参数化方法）14/113（a）间接法（BT法）直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT）问世以前，是最流行的谱估计方法。BT法又称为相关图法对信号序列估计求其自相关函数值对自相关函数的估计进行加权对加权的自相关函数做傅里叶变换获得功率谱估计。15/113（b）直接法（又称周期图（periodogram)法）对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换取模的平方，再除以N得到功率谱估计。不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算，在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应用。16/113（2）现代谱估计其基本思想是根据已有的观测数据，建立信号所服从的模型，从而在观测不到的区间上，信号的取值服从模型的分布情况，不再认为是零。主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA）法。17/1135、经典谱估计与现代谱估计方法的比较(1)经典谱估计的优缺点(2)现代谱估计的优缺点18/113(1)经典谱估计的优缺点优点：原理简单，便于实现，并可采用FFT等技术而使计算量大为减小。缺点：它的估计方差大，谱分辨率差（分辨率大约为数据长度的倒数）。使得这种方法难以应用于短数据记录等情况。原因：一个假设，即除了得到N个数据外，序列的其它值均被认为是零。但实际上序列或其自相关函数在我们未能观测到或未估计的值，实际上并不全是零。19/113(2)现代谱估计的优缺点优点：现代谱估计质量比经典谱估计的质量有很大提高。缺点：没有理论能指导选择一个合适的模型，只能根据功率谱的一些先验知识，即重要的谱特性，选择模型。选型合适，可以得到偏差小分辨率高、方差小的谱估计质量。20/1136、功率谱估计的发展功率谱估计的分辨能力用参量法可以改进。如自回归模型法、最大熵法和最大似然估计等。在这些方法中，不再认为观测到的N个数据以外的数据全为零，因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。21/113然而这些方法在信噪比（SNR）较低时性能并不好，为此，1982年以来，人们陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或特征值分解的改进的谱估计方法，也叫做超分辨方法。22第二节经典谱估计方法23/113一、相关图法-1958BlackmanTukey根据维纳辛欣定理，年和给出了相关图法的具体实现。(1)()()[()()]xxxnmExnxnm计算随机信号的自相关函数：　　-(2)()()xxmxxmm若　　　　可由的傅里叶变换得到它的功率谱。24/113--(3)()()jmwxxxxmPwme求功率谱。()()xxPwxn是通过的自相关函数间接得到的，所以，也称为间接法。25/113(1)()(),0,1,,-1()xnxnnNxnN先估计随机信号的自相关函数。设为实随机序列的一批样本，共有个值。二、相关图法功率谱估计步骤估计的方法有两种：(a)有偏自相关函数估计(b)无偏自相关函数估计26/113--101ˆ()()(),1-ˆ()21NmxxnxxmxnxnmmNNmmN它的自相关函数由下式估计：式中的长度为－。27/113ˆ(2)()()xxmxn求的离散傅里叶变换，得到的功率谱的估值。--ˆˆ()(),-1MjwmxxxxmMPwmeMNˆ()()xxPwxn是通过的自相关函数间接得到的，所以又称由于为间接法。28/113(3)FFT采用计算上式功率谱。FFT(0~-1)(-)(0~-1)LMML设变换域为，须将求和域，移到。-1-0ˆˆ()()LjwmxxxxmPwmeˆ()0ˆ()01-ˆ(-)-(+1)-1xxxxxxmmMmMmLMmLLMmL29/113FFT,:经变换得2-1-0ˆˆˆ()()()LjkmLxxxxxxmPkFFTmme0,1,2,-1kL30/113()ˆ()()xxxxxnNmm用的个有限值得到自相关函数的估计，它与信号本身自相关函数有一定程度的差别。三、相关图法功率谱估计质量它对相关图法的估计性能有很大影响。31/113ˆ(1)()()xxxxmm讨论接近的程度。ˆ()xxm主要由的估计偏差和估计方差来衡量。对于不同的样本，得出的估计是不同的，且估计值是一个随机变量。通过确定它们的均值、方差等参数，衡量估计方法的好坏。32/113ˆ(a)()xxm先求的均值--10--101()()-1=()=ˆ())-(NmnNmxxxxxxnEExnxnmNmmNmmmˆ()()xxmxn即自相关函数的估计值的数学期望等于序列的自相关函数的真实值。ˆ()()xxxxmm因此，是自相关函数的无偏估计。33/113ˆ(b)()xxm其次求的方差22ˆˆˆvar()()-()xxxxxxmEmEm根据方差定义：2--1--1200ˆ()1()()()()1-xxNmNmnkEmExnxnmxkxkmNm式中第一项：　（）34/113()xn零均值实正当随态机序列是序列时，它的各高阶矩都可以用其一阶和二阶矩来表示：1234123413241423=++ExxxxExxExxExxExxExxExx)()()()Exnxnmxkxkm则：（)()()())()()())()()()ExnxnmExkxkmExnxkExnmxkmExnxkmExnmxk（（（22()(-)(-)(--)(2)xxxxxxxxmknkmnkmn　　35/1132--1--122200ˆ()1()(-)(-)(--)-xxNmNmxxxxxxxxnkEmmknkmnkmnNm所以：22ˆ(1))(),xxxxEmm将上式代入中，且（得：22--1--12200ˆˆˆvar)()-()1(-)(-)(--)3-xxxxxxNmNmxxxxxxnkmEmEmknkmnkmnNm（（）36/113--1--1200minmax(-)(-)(--)-,0,-,--1-(--1),0,,--1--1NmNmxxxxxxnkknkmnkmnlknlklnnNmlNmnlkkNmlNm针对令最大值、最小值为：当取最大，得：当取最大，0()-lknNm即的情况将出现次，1--1lNm的情况将出现次。--lNml依此类推，不同的的情况，出现的次数将为。37/113--122-(--1)ˆvar)1(--)()()(-)-xxNmxxxxxxlNmmNmlllmlmNm上式可写成：（--122-(--1)--122-(--1)(1-)()()(-)-()()(-)-NmxxxxxxlNmNmxxxxxxlNmmlNllmlmNNmNllmlmNm38/113(i)1ˆlimvar()0ˆ)xxNxxNmNmm当时，上式以趋于零，即　　　　　　故（满足一致估计的条件。ˆ)xxm（为无偏一致估计。39/113(ii)NmN对于固定，当越靠近时，ˆ()xxm的估计方差越大，因而不能得到有用的估计。--1'0()-1ˆˆ()()()(),-1NmxxxxxxnmxnxnmmNmmmNNN此时可按下式估计：　　　　　　　40/113'-ˆ()()xxxxNmEmmN其均值：'0ˆ()()xxxxmEmm表明：当时，由于()xxm相当于真值用三角窗函数加权。'ˆ())xxxxmm是（的有偏估计。41/113(iii)mN若取有限值，则当时，'ˆ()xxm的偏差为零。'lim()-)0xxxxNEmm即：（'ˆ())xxxxmm因此，是（的渐近无偏估计。其估计方差为：2'-ˆˆˆvar()var()var()xxxxxxNmmmmN42/113'ˆ()()xxxxmm是的渐近无偏一致估计，ˆ()xxm且其估计方差小于的估计方差'ˆ()()ˆ()xxxxmm所以一般用有偏估计渐近无偏估计做为自相关函数的估计，而较少使用无偏一致估计。43/113--10ˆ()1ˆ()()()xxNmxxnmmxnxnmN为了方便，仍用表示，即：N总之：自相关函数的两种估计方法：即估值是渐近无偏或无偏的。当采样数目增大时，其方差均减少，N因此，这两种自相关估计可通过增大而得到改进。44/113自相关函数是渐近无偏估计，经过傅里叶变换得其到的功率谱,估计质量?功率谱估计