6-4现代功率谱估计

数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计现代功率谱估计现代功率谱估计现代谱估计简介问题提出平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系AR模型参数与线性预测滤波器的关系Y-W方程的L-D递推算法伯格(Burg)递推算法利用MATLAB进行AR模型功率谱估计现代功率谱估计问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(W)的一致估计。2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果。出现问题的原因:将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。方法：(1)选择一个好的模型，在输入是冲激函数或白噪声的情况下，使其输出等于所研究的信号，至少也是对该信号的一个良好近似。(2)利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。(3)利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。现代功率谱估计平稳随机信号的参数模型AR模型(自回归))(111)(0zAzazHpnnnMA模型(滑动平均)qlllzbzH11)(ARMA模型(自回归滑动平均))()(1)(00zAzBzazbzHpnnnqlll现代功率谱估计若输入白噪声的功率谱2)(WeP则输出序列的功率谱为2j22j)e()()e()(WWWWHPHPex若能确定模型中各参数an和bl就可以求得功率谱Px(W)平稳随机信号的参数模型现代功率谱估计AR模型参数与自相关函数的关系Yule-Walker（Y-W）方程(见p223,式6-67)0001]0[]2[]1[][]2[]0[]1[]2[]1[]1[]0[]1[][]2[]1[]0[221pyyyyyyyyyyyyyyyyaaaRpRpRpRpRRRRpRRRRpRRRR若已知Ry[n]，由Y-W方程解出各参数a1,a2,…,ap，则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值。][][][1kwnkyakynpn现代功率谱估计AR模型参数与线性预测滤波器的关系][)(][][ˆ][][1nkynakykykykeppnfp前向线性预测滤波器y[k]的预测值由其过去值y[k1],y[k2],,y[kp]的线性加权得到。][ˆky前向预测误差A(z)y[k]][kefpnppnzna)(11前向预测误差滤波器系统函数现代功率谱估计后向线性预测滤波器][)(][1pnkynapkyppn由y[k],y[k1],,y[kp+1]p个数据预测数据y[kp]后向预测误差][ˆ][][pkypkykebpAb(z)y[kp]][kebp)(])(1[)(11zAzznazzApnppnpb前向预测误差滤波器系统函数AR模型参数与线性预测滤波器的关系现代功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(2)由自相关函数的估计值，递推221,,,,ppaaa]0[]1[)1(1yyRRa21121)1](0[aRy21111][)(][)(pyppnypnpRnapRpa)1,,2,1()()()()(11pnnpapananapppp2122])(1[ppppa现代功率谱估计(3)求出功率谱估计21j2e1)(ˆpnnnARaPWWY-W方程的L-D递推算法例：利用L-D算法进行谱估计(2)根据L-D算法的递推步骤递推计算谱估计。由于均方预测误差随着阶次的增加而减小，故取p=80。分析：(1)将N个观测数据以外的数据视为零，计算其自相关函数估计。一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号，][)π32.0cos()π3.0cos(][kwkkkx利用L-D算法估计该序列的功率谱。设x[k]的观测数据分别为N=128和N=512。或直接利用MATLAB中的PYULEAR函数计算。谱估计结果——p=80,N=128谱估计结果——p=80,N=512例：利用L-D算法进行谱估计结论：一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号，][)π32.0cos()π3.0cos(][kwkkkx利用L-D算法估计该序列的功率谱。设x[k]的观测数据分别为N=128和N=512。观测数据N越短，谱估计误差越大，谱估计的分辨率越低。原因：(1)在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，观测数据越短，自相关函数估计误差越大，因此功率谱估计误差就越大。(2)用有限个观测数据进行功率谱估计，相当于对信号加窗，由于窗函数的长度和频率分辨率成正比，因此观测数据越短，谱估计的分辨率就越低。现代功率谱估计伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格(Burg)递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR模型优化的参数。现代功率谱估计伯格(Burg)递推算法步骤(1)确定初始条件][][][00kykekebf][11020kyNNk(2)从p=1开始迭代计算:计算AR模型参数}]1[][{]1[][221211111kekekekeKbpfpNpkbpfpNpkp)1,,2,1()()()(11pnnpaKnanapppp递推p阶均方误差2122)1(pppK伯格(Burg)递推算法现代功率谱估计(3)递推高一阶前、后向预测误差]1[][][11keKkekebppfpfp][]1[][11keKkekefppbpbp(4)若阶数小于p，则阶数加1，回到步骤(2)进行下一次迭代，直到达到预定阶数p。(5)估计功率谱21j2e1)(ˆpnnnARaPWW伯格(Burg)递推算法步骤伯格(Burg)递推算法现代功率谱估计A=LEVINSON(R,ORDER)ORDER:AR模型的阶数；R:观测序列的自相关函数；A:白噪声序列的方差和AR模型参数。[A,E,K]=ARYULE(X,ORDER)X为观测序列；E为预测误差；K为反射系数。[A,E,K]=ARBURG(X,ORDER)计算AR模型参数的MATLAB函数现代功率谱估计Pxx=PYULEAR(X,ORDER)Pxx=PBURG(X,ORDER)直接绘制功率谱估计的曲线PYULEAR(X,ORDER,NFFT,Fs)PBURG(X,ORDER,NFFT,Fs)NFFT:为DFT点数，默认值为256；Fs:绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1。计算AR模型谱估计的MATLAB函数例：利用Burg法进行谱估计分析：根据Burg算法的步骤，从1起一直递推到p阶，即可求得AR(p)的模型参数，以及对x[k]进行功率谱估计的结果。一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号，][)π32.0cos()π3.0cos(][kwkkkx利用Burg法估计该序列的功率谱。设AR模型的阶数分别为50和80。这一过程可以直接利用MATLAB中的PBURG函数实现。利用Burg法进行谱估计程序N=512;Nfft=1024;Fs=2*pi;n=0:N-1;xn=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n));order=50;figure(1)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title('BurgAlgorithm,p=50')order=80;figure(2)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title('BurgAlgorithm,p=80')AR模型阶数p=50的谱估计结果(Burg法)00.511.522.53-60-40-200204060Frequency(Hz)PowerSpectralDensity(dB/Hz)PSDUsingBurgAlgorithm,p=50AR模型阶数p=80的谱估计结果(Burg法)00.511.522.53-60-40-200204060Frequency(Hz)PowerSpectralDensity(dB/Hz)PSDUsingBurgAlgorithm,p=80例：利用Burg法进行谱估计结论：一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号，][)π32.0cos()π3.0cos(][kwkkkx利用Burg法估计该序列的功率谱。设AR模型的阶数分别为50和80。低阶AR模型的功率谱比高阶模型的功率谱平滑，但频率分辨率比高阶模型低。AR模型的最佳阶数的确定：(1)不断增加模型的阶，同时观察预测误差功率，当其下降到最小时，对应的阶可作为AR模型的阶。(2)观察各阶模型预测误差的周期图，当其最接近平坦时即对应模型的最佳阶。