（毕节专版）2019年中考数学复习 第5章 图形的相似与解直角三角形 第20课时 锐角三角函数与解直

1第20课时锐角三角函数与解直角三角形毕节中考考情及预测近五年中考考情2019年中考预测年份考查点题型题号分值30°,45°,60°角的三角函数值与解直角三角形为必考考点,30°,45°,60°角的三角函数值一般与实数的运算综合考查,解直角三角形一般与圆综合考查,预计2019年会延续以前的方式进行考查.201830°角的三角函数值解答题218解直角三角形解答题26(2)8201760°角的三角函数值解答题218解直角三角形解答题24(2)6解直角三角形解答题26(2)8201645°角的三角函数值解答题218解直角三角形解答题26(2)8201545°角的三角函数值解答题218解直角三角形解答题24(2)62014解直角三角形选择题15330°角的三角函数值解答题218毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：－13－1－12＋3tan30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sinD＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°,∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°,∠AFE＝∠D,∴∠C＝∠AFB.∴△ABF∽△BEC；2(2)解：∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中,AE＝AD·sinD＝5×45＝4.在Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE＝AE2＋AB2＝42＋82＝45.∵△ABF∽△BEC,∴AFBC＝ABBE,即AF5＝845,∴AF＝25.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝c,BC＝a,AC＝b正弦sinA＝∠A的对边斜边＝__ac__余弦cosA＝∠A的邻边斜边＝__bc__正切tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝__ab__特殊角的三角函数值三角函数\锐角α30°45°60°sinα12__22__32cosα3222__12__tanα__33__13解直角三角形解直角三角形常用的关系：在Rt△ABC中,∠C＝90°三边关系__a2＋b2＝c2__两锐角关系__∠A＋∠B＝90°__边角关系sinA＝cosB＝accosA＝sinB＝bc3tanA＝ab1.(2018·柳州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝3,则sinB＝ACAB＝(A)A.35B.45C.37D.34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B＝90°,则下列各式成立的是(D)A.sinA＝cosAB.tanA＋tanB＝1C.sinA＝sinBD.sinA＝cosB3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB＝8m,某一时刻,旗杆影子长BC＝16m,则tanC＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC中,∠C＝90°,若tanA＝12,则sinB＝__255__.5.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法：∵sinA＝ac,sinB＝bc,∴c＝asinA,c＝bsinB,∴asinA＝bsinB.根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC中,探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.解：asinA＝bsinB＝csinC.证明如下：过A作AD⊥BC于点D,过B作BE⊥AC于点E.4在Rt△ABD中,sinB＝ADc,即AD＝csinB.在Rt△ADC中,sinC＝ADb,即AD＝bsinC.∴csinB＝bsinC,即bsinB＝csinC.同理可得asinA＝csinC,则asinA＝bsinB＝csinC.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m.(计算结果精确到0.1m,参考数据sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时,吊臂AB的长为______m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt△ABC中,∠BAC＝64°,AC＝5,∴AB＝ACcos64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB的长为11.4m.故应填：11.4；(2)过点D作DH⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt△ADE中,AD＝20,∠DAE＝64°,EH＝1.5,∴DE＝sin64°×AD≈20×0.90＝18.0,即DH＝DE＋EH≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1(2018·广安中考)计算：13－2＋|3－2|－12＋6cos30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.5【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2(2018·潍坊中考)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA＝AD,∠BAD＝90°.由DE⊥AM,BF⊥AM,可得∠ABF＝∠DAE.对于△ABF和△DAE,可由AAS得到△ABF≌△DAE,结论可证；(2)设AE＝x,由(1)中结论可得BF＝x,DE＝AF＝2.利用S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE可列方程求出x得到EF的长.在Rt△BFE中利用勾股定理可求出BE的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,∴BA＝AD,∠BAD＝90°.∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB＝∠DEA＝90°,∴∠ABF＋∠BAF＝90°,∠DAE＋∠BAF＝90°,∴∠ABF＝∠DAE.在△ABF和△DAE中,∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS),∴BF＝AE；(2)解：设AE＝x,则BF＝x,DE＝AF＝2.∵四边形ABED的面积为24,∴12·x·x＋12·x·2＝24,解得x1＝6,x2＝－8(舍去),∴EF＝x－2＝4.在Rt△BEF中,BE＝42＋62＝213,∴sin∠EBF＝EFBE＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3(2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40km/h.数学6实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC＝30m,∠APC＝71°,∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6s,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC＝PCtan∠APC,BC＝PCtan∠BPC,再根据线段的和与差得出AB的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB路段的车速.若该车通过AB路段的车速超过40km/h,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt△APC中,AC＝PCtan∠APC＝30tan71°≈30×2.90＝87.在Rt△BPC中,BC＝PCtan∠BPC＝30tan35°≈30×0.70＝21,则AB＝AC－BC＝87－21＝66,∴该汽车的实际速度为666＝11(m/s).又∵40km/h≈11.1m/s,1111.1,∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2019＋2)0＋12－1＋2cos30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－33＝3－23.2.如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为(A)A.13B.2－1C.2－3D.143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD中,DB＝DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；7(2)若DC＝10,tan∠DCB＝3,求菱形AEBD的面积.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF＝∠EBF.∵∠AFD＝∠BFE,AF＝FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD＝BE.∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形.又∵DB＝DA,∴四边形AEBD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD＝AB＝10,AB∥CD,∴∠ABE＝∠DCB,∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.∵四边形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF＝FB,EF＝DF,∴tan∠ABE＝EFBF＝3.∵BF＝102,∴EF＝3102,∴DE＝310.∴S菱形AEBD＝12AB·DE＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB＝20m,AC＝30m,∠A＝150°,草皮的售价为a元/m2,则购买草皮至少需要(C)A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面1.2m,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是(B)A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10°C.AC＝1.2tan10°mD.AB＝1.2cos10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)(B)8A.12.6mB.13.1mC.14.7mD.16.3m